Differenza derivabilità da una a due variabili

[starbike]

Salve a tutti,
In una funzione a una variabile so che se la funzione è derivabile in un punto allora è continua in quel punto,
ora nelle funzioni a più variabili se una funzione è derivabile in un vettore x allora è continua in quel vettore MA se una funzione è derivabile in un punto allora non è detto che sia continua in quel punto. Perchè?

[Plepp]

"starbike":se una funzione è derivabile in un vettore x allora è continua in quel vettore MA se una funzione è derivabile in un punto allora non è detto che sia continua in quel punto

Forse intendevi differenziabile?

[starbike]

No no derivabilità

[Plepp]

Allora spiegati meglio, per favore hai scritto una frase tipo questa:
se fa bel tempo allora vado al mare, MA se fa bel tempo non è detto che io vada al mare

[starbike]

Se f è derivabile in un vettore allora è continua nel vettore, se f è derivabile in un punto allora non è detto che è continua in quel punto (citazione del libro). Però girando su internet ho trovato il perchè della seconda ossia se in un puno è derivabile non è detto che in quel punto è continua :
E da mettere in evidenza il seguente fatto: lo studente ricorderà
che con le funzioni di una variabile la derivabilit`a
in un punto implica la continuit`a nello stesso punto. Questo risultato non vale pi`u con funzioni di pi`u variabili: ora
la derivabilit`a di una funzione nel punto $x_0$
non garantisce la continuit`a della funzione in $x_0$
In altre parole ci sono esempi di funzioni derivabili in un punto ma non continue in quel punto.
Il motivo del fatto che in pi`u variabili la derivabilit`a parziale in un punto $x_0$
non implica la continuit`a in $x_0$`e
facilmente intuibile: l’esistenza delle derivate parziali dipende dal comportamento della funzione soltanto lungo le
direzioni parallele agli assi cartesiani, mentre la continuit`a coinvolge i valori in tutto un intorno del punto $x_0$
Quindi la derivabilit`a lungo le direzioni fondamentali non d`a sufficienti garanzie sul comportamento della funzione lungo altre possibili direzioni.

Però il mio libro dice anche che se f è derivabile in un VETTORE x allora è continua nel vettore. Perchè?

[gugo82]

"starbike":Se f è derivabile in un vettore allora è continua nel vettore, se f è derivabile in un punto allora non è detto che è continua in quel punto (citazione del libro). Però girando su internet ho trovato il perchè della seconda ossia se in un puno è derivabile non è detto che in quel punto è continua :
E da mettere in evidenza il seguente fatto: lo studente ricorderà
che con le funzioni di una variabile la derivabilit`a
in un punto implica la continuit`a nello stesso punto. Questo risultato non vale pi`u con funzioni di pi`u variabili: ora
la derivabilit`a di una funzione nel punto $x_0$
non garantisce la continuit`a della funzione in $x_0$
In altre parole ci sono esempi di funzioni derivabili in un punto ma non continue in quel punto.
Il motivo del fatto che in pi`u variabili la derivabilit`a parziale in un punto $x_0$
non implica la continuit`a in $x_0$`e
facilmente intuibile: l’esistenza delle derivate parziali dipende dal comportamento della funzione soltanto lungo le
direzioni parallele agli assi cartesiani, mentre la continuit`a coinvolge i valori in tutto un intorno del punto $x_0$
Quindi la derivabilit`a lungo le direzioni fondamentali non d`a sufficienti garanzie sul comportamento della funzione lungo altre possibili direzioni.

Esempio:
\[
f(x,y):= \begin{cases} 1 &\text{, se } x=0 \text{ oppure } y=0\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
è derivabile in \((0,0)\), ma nient'affatto continua.

"starbike":Però il mio libro dice anche che se f è derivabile in un VETTORE x allora è continua nel vettore. Perchè?

Non si è ancora capito cosa significhi "derivabile in un vettore"... Forse intende lungo una direzione?

[starbike]

Forse ho sbagliato io....scusate
Avrei un'altra domanda importante:
Ho un esercizio che non ho fatto all'esame che mi chiede di dimostrare che una funzione non è differenziabile in un punto prendendo un versore non nullo tipo v=(A,B)
Come aiuto mi disse di dimostrare che non esistono le derivate parziali rispetto a un versore qualsiasi non nullo. E' un teorema questo?? se si come è?

[gugo82]

Una funzione differenziabile in un punto è pure derivabile, nello stesso punto, rispetto a tutte le direzioni; ergo, se esiste una direzione lungo la quale una funzione non è derivabile...