Differenza approssimata

[giammarco.cugliari]

Buonasera ragazzi ,

qualcuno mi da una mano con questa faccenda ?
Allora nelle condizioni in cui

\( x\ll l \)

si ha che :

\( \sqrt{l^2+x^2}-l\approx (x^2)/2l \)

Perché ?

[stormy1]

incominciamo a scrivere il primo termine della differenza in questo modo :
$sqrt(l^2+x^2)=lsqrt(1+x^2/l^2)$
esiste una serie, detta serie binomiale,la cui somma è $f(z)=(1+z)^m$
dallo studio di questa serie si ottiene che per $z$ molto piccolo e per $m=1/2$ vale la formula approssimata $sqrt(1+z)=1+z/2$
tornando all'esercizio,$sqrt(1+x^2/l^2)$ si approssima con $1+x^2/(2l^2)$ e da qui arrivi facilmente alla tesi

[giammarco.cugliari]

Con Taylor non ci si arriva ?

Se si , mi scriveresti i passaggi ?


Io ci sto provando ma niente. Grazie tante per l'aiuto !

[stormy1]

sì,alla serie binomiale ci si arriva con lo sviluppo di Mac Laurin
in generale si ha
$(1+x)^m=1+ ( (m), (1) )x + ( (m), (2) ) x^2+...,|x|<1$
con $ ( (m), (k) ) =(m(m-1)(m-2)...(m-k+1))/(k!) $
cioè è la generalizzzazione della definizione di coefficiente binomiale per $m$ reale

[CaMpIoN]

Forse anche con il metodo delle tangenti di Newton.