Diffeomorfismo regolare
Buongiorno a tutti! Mi sono imbattuta in questo esercizio, che mi da' qualche problema.
Verificare che l'applicazione T di $R^2$ in $R^2$ definita da $T(u,v)=(u^2v+ue^u,u^3v^2+ve^v)$ e' un diffeomorfismo regolare tra un aperto A contenente (1,0) e un aperto B contenente (e,0). Detto $T^-1$ il diffeomorfismo inverso, calcolare $J_(T^-1)(e,0)$.
Innanzitutto, ho provato a verificare che T fosse iniettiva:
$T(u_1,v_1)=T(u_2,v_2)$ dovrebbe restituire $(u_1,v_1)=(u_2,v_2)$ ma mi sono ingarbugliata con i conti e non riesco ad arrivare da nessuna parte!
Comunque, dopo aver verificato l'iniettivita', devo provare che $detJ_T$ e' diverso da zero per ogni (u,v), dunque:
$detJ_T=|(2uv+(1+u)e^u,u^2),(3u^2v^2,2u^3v+(1+v)e^v)|=$
$=u^4v^2+2uv((1+v)e^v+u^2(1+u)e^u)+(1+u)(1+v)e^(u+v)$ ma anche qui i conti non mi tornano..mi sembra proprio di perdermi in un bicchiere d'acqua!
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie mille in anticipo!
Verificare che l'applicazione T di $R^2$ in $R^2$ definita da $T(u,v)=(u^2v+ue^u,u^3v^2+ve^v)$ e' un diffeomorfismo regolare tra un aperto A contenente (1,0) e un aperto B contenente (e,0). Detto $T^-1$ il diffeomorfismo inverso, calcolare $J_(T^-1)(e,0)$.
Innanzitutto, ho provato a verificare che T fosse iniettiva:
$T(u_1,v_1)=T(u_2,v_2)$ dovrebbe restituire $(u_1,v_1)=(u_2,v_2)$ ma mi sono ingarbugliata con i conti e non riesco ad arrivare da nessuna parte!
Comunque, dopo aver verificato l'iniettivita', devo provare che $detJ_T$ e' diverso da zero per ogni (u,v), dunque:
$detJ_T=|(2uv+(1+u)e^u,u^2),(3u^2v^2,2u^3v+(1+v)e^v)|=$
$=u^4v^2+2uv((1+v)e^v+u^2(1+u)e^u)+(1+u)(1+v)e^(u+v)$ ma anche qui i conti non mi tornano..mi sembra proprio di perdermi in un bicchiere d'acqua!
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Non ti serve provare che $T$ è iniettiva: devi usare solo il teorema di inversione locale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo