Diffeomorfismo e diffeomorfismo locale

[lalalli91]

salve a tutti!
ho un dubbio sulla relazione tra diffeomorfismo e diffeomorfismo locale.
se una funzione $f:RR^n->RR^n$ è tale che il determinante del suo jacobiano non si annulla in nessun punto di un aperto $A\subRR^n$ allora essa è diffeomorfismo locale su A, ma se il determinante del suo jacobiano non si annulla in nessun punto di $RR^n$ allora essa è diffeomorfismo (e non solo diffeomorfismo locale)?
grazie

[lalalli91]

c'è nessuno?

[Paolo902]

"lalalli91":
se una funzione $f:RR^n->RR^n$ è tale che il determinante del suo jacobiano non si annulla in nessun punto di un aperto $A\subRR^n$ allora essa è diffeomorfismo locale su A, ma se il determinante del suo jacobiano non si annulla in nessun punto di $RR^n$ allora essa è diffeomorfismo (e non solo diffeomorfismo locale)?

La domanda che fai è sensata, intelligente e "classica"; la risposta si trova generalmente su un buon testo di Analisi II (Cecconi-Stampacchia, Pagani-Salsa...). Ad ogni modo, la risposta è in generale no.

Basta considerare la funzione \(\phi \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2\) definita da
\[
\phi \colon (x,y) \mapsto (e^x\cos{y}, e^x\sin{y})
\]

(che è la solita funzione che esprime il fatto che $RR$ è il rivestimento universale di $\mathbb S^1$). Come puoi facilmente verificare ha jacobiano non nullo in ogni punto, però non può essere un diffeomorfismo (perché?).
Per maggiori informazioni, puoi cercare nel forum - se n'è parlato diverse volte; in aggiunta, se vuoi, puoi consultare il capitolo 3 del solito Ambrosetti-Prodi, A primer in nonlinear analysis.