Diffeomorfismo con parametro

[thedarkhero]

Considero la funzione $f:RR^2->RR^2$ definita da $f(x,y)=(x+lambday, y-(lambda+1)x^2)$ con $lambda\inRR$.
Voglio stabilire per quali valori di $lambda$ $f$ è diffeomorfismo.
Un diffeomorfismo $f$ di classe $C^k$ è una funzione di classe $C^k$ se:
- $f$ è biettiva (iniettiva e suriettiva);
- $f(RR^2)$ è aperto;
- $f^(-1)$ è di classe $C^k$.

Come posso fare a stabilire intanto i valori di $lambda$ che rendono $f$ biettiva?

[Sk_Anonymous]

Dai un'occhiata qui.

[thedarkhero]

Grazie
Due domande:
Hai posto $f(x,y)=0$ e hai determinato $x$ e $y$ in funzione di lambda trovando $(0,0)$ e $(...,...)$?
Hai mostrato che sicuramente se $lambda!=0$ e $lambda!=-1$ $f$ non è iniettiva (dunque nemmeno diffeomorfismo), quindi rimane solo da vedere se lo è nei casi $lambda=0$ e $lambda=-1$?

[Sk_Anonymous]

Sì (ad entrambe le domande).

[thedarkhero]

Ottimo Grazie.

Nel caso $lambda=-1$ $f$ e' lineare e la matrice associata e' $((1,-1),(0,1))$ che ha determinante non nullo e dunque $f$ e' iniettiva e suriettiva.
Devo dire anche che essendo suriettiva $f(RR^2)=RR^2$ ed $RR^2$ e' aperto?
La matrice inversa e' $((1,1),(0,1))$e corrisponde alla funzione $f^(-1)(x,y)=(x+y,y)$ che e' continua dunque si tratta di diffeomorfismo, giusto?

Nel caso $lambda=0$ si ha $f(x,y)=(x,y-x^2)$, e qui mi riesce piu' difficile stabilire se $f$ e' biiettiva...come posso procedere?