Diffeomorfismo?
Ciao a tutti, vorrei dimostrare questa cosa in un esercizio trovato:
Ho pensato ai seguenti passi:
a) Io so che diffeomorfo può essere dimostrato in due modi (aka ho due definizioni in mente):
- date le parametrizzazioni $phi∘f∘psi$ è $C^oo$ la composizione è $C^oo$
- parametrizzo $S^2$ con phi e $phi∘f$è $C^oo$
b) In entrambi i casi una volta che compongo sulla composta immagino che troverò funzioni derivabili e continue su tutto il loro dminio e per il teorema del differenziale totale posso concludere che sono differenziabili.
MA) Il punto è che non posso parametrizzarla solo con una $phi$ la sfera, non so adesempio ho $(x,y,z=sqrt(-x^2-y^2+1))$ e $x^2+1^2<1$
Da qui va da sé che avrò 6 parametrizzazioni possibili.
Ora io potrei fare le composizioni sopra con una f da trovarsi che sia biiettiva (così da avere la composizione invertibile e verificare che sia differenzibile nei due versi).
Inizialmente avevo pensato alla mappa $f:(x,y,z)->(x/a,y/b,z/c)$ però non mi pare ben definita, sbaglio? perché $(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)=1$ non mi pare sia sempre vero.
Allora ho ripensato a un'altra mappa: $f:(x,y,z)->(xa,yb,zc)$ e questa mi sembra funzionare avendo:
$(x^2+y^2+z^2)=1$ che è vera dato che la sfera era soddisfatta da x y z. Quindi è ben definita avendo immagine nel codominio ellissoide voluto.
Con ciò detto:
- inietività facilmente dimostrata
-suriettività
Dobbiamo dimostrare che per ogni punto (x,y,z)∈ellissoide, esiste un punto (u,v,w)∈S2 tale che $f(u,v,w)=(x,y,z)$
Consideriamo un punto (x,y,z) nell'ellissoide. Per definizione, (x,y,z) soddisfa l'equazione dell'ellissoide:
preso:
$u=x/a$,
$v=y/b$,
$w=z/c$
Dobbiamo verificare che (u,v,w)∈S, cioè che soddisfa l'equazione della sfera:
$u^2+v^2+w^2=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2$ e questa è 1 dato che per ipotesi x y z soddisfano l'ellissoide.
Quindi, $(u,v,w)∈S2$ come voluto e ogni tale punto rende vero che: $f(u,v,w)=(x,y,z)$.
però mi preoccupa come si appicciano tra loro le varie "carte" cioè le varie mappe delle 6 che trovo, io mi ritroverò con sei composizioni che sono differenziabil, nei punti di intersezione posso cambiare variabili e rimarranno differenziabili. Tutto ciò mi basta per dire che il tutto è un diffeomorfismo? perché a me pare diffeomorfismo per gni sngola mappa, ma poi nell'intersezone i vari punti sono date da mappe diverse e se le prendo tutte assieme non ho più univocità. Sono un po confuso
Tra l'altro altra domanda: Online ho trovato di provare che f:S2→M,(x,y,z)↦(ax,by,cz) sia un diffeo, ma non mi convince perché parendo da S2 come differenzio? Sbaglio o sta soluzione non è sensatissima?
Spero in qualche aiuto
. Che ne pensate della mia idea?
Grazie
Dimostrare che:
- La sfera $S^2$ è diffeomorfa a qualunque ellissoide $x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$.
- Il paraboloide $z=x^2+y^2$ è diffeomorfo al piano.
Ho pensato ai seguenti passi:
a) Io so che diffeomorfo può essere dimostrato in due modi (aka ho due definizioni in mente):
- date le parametrizzazioni $phi∘f∘psi$ è $C^oo$ la composizione è $C^oo$
- parametrizzo $S^2$ con phi e $phi∘f$è $C^oo$
b) In entrambi i casi una volta che compongo sulla composta immagino che troverò funzioni derivabili e continue su tutto il loro dminio e per il teorema del differenziale totale posso concludere che sono differenziabili.
MA) Il punto è che non posso parametrizzarla solo con una $phi$ la sfera, non so adesempio ho $(x,y,z=sqrt(-x^2-y^2+1))$ e $x^2+1^2<1$
Da qui va da sé che avrò 6 parametrizzazioni possibili.
Ora io potrei fare le composizioni sopra con una f da trovarsi che sia biiettiva (così da avere la composizione invertibile e verificare che sia differenzibile nei due versi).
Inizialmente avevo pensato alla mappa $f:(x,y,z)->(x/a,y/b,z/c)$ però non mi pare ben definita, sbaglio? perché $(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)=1$ non mi pare sia sempre vero.
Allora ho ripensato a un'altra mappa: $f:(x,y,z)->(xa,yb,zc)$ e questa mi sembra funzionare avendo:
$(x^2+y^2+z^2)=1$ che è vera dato che la sfera era soddisfatta da x y z. Quindi è ben definita avendo immagine nel codominio ellissoide voluto.
Con ciò detto:
- inietività facilmente dimostrata
-suriettività
Dobbiamo dimostrare che per ogni punto (x,y,z)∈ellissoide, esiste un punto (u,v,w)∈S2 tale che $f(u,v,w)=(x,y,z)$
Consideriamo un punto (x,y,z) nell'ellissoide. Per definizione, (x,y,z) soddisfa l'equazione dell'ellissoide:
preso:
$u=x/a$,
$v=y/b$,
$w=z/c$
Dobbiamo verificare che (u,v,w)∈S, cioè che soddisfa l'equazione della sfera:
$u^2+v^2+w^2=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2$ e questa è 1 dato che per ipotesi x y z soddisfano l'ellissoide.
Quindi, $(u,v,w)∈S2$ come voluto e ogni tale punto rende vero che: $f(u,v,w)=(x,y,z)$.
però mi preoccupa come si appicciano tra loro le varie "carte" cioè le varie mappe delle 6 che trovo, io mi ritroverò con sei composizioni che sono differenziabil, nei punti di intersezione posso cambiare variabili e rimarranno differenziabili. Tutto ciò mi basta per dire che il tutto è un diffeomorfismo? perché a me pare diffeomorfismo per gni sngola mappa, ma poi nell'intersezone i vari punti sono date da mappe diverse e se le prendo tutte assieme non ho più univocità. Sono un po confuso
Tra l'altro altra domanda: Online ho trovato di provare che f:S2→M,(x,y,z)↦(ax,by,cz) sia un diffeo, ma non mi convince perché parendo da S2 come differenzio? Sbaglio o sta soluzione non è sensatissima?
Spero in qualche aiuto
. Che ne pensate della mia idea?Grazie
Risposte
La seconda mappa a cui hai pensato funziona, ma da dove altro dovrebbe partire se non da $S^2$?
Sai che non ho capito? Certo parte da S2.
Posso chiederti di quotarmi la parte che non ti convince dove asserivo che non parte da S2? Perché almeno la rivedo.
per il resto invece?
a) Io so che diffeomorfo può essere dimostrato in due modi (aka ho due definizioni in mente):
- date le parametrizzazioni $phi∘f∘psi$ è $C^oo$ la composizione è $C^oo$
- parametrizzo $S^2$ con phi e $phi∘f$è $C^oo$
Mi piacerebbe chiedere un parere di questi 3 punti su chi ne sa di più, cioè tu
Posso chiederti di quotarmi la parte che non ti convince dove asserivo che non parte da S2? Perché almeno la rivedo.
per il resto invece?
Online ho trovato di provare che f:S2→M,(x,y,z)↦(ax,by,cz) sia un diffeo, ma non mi convince perché parendo da S2 come differenzio? Sbaglio o sta soluzione non è sensatissima?perché a me risulta di dover provare questo:
a) Io so che diffeomorfo può essere dimostrato in due modi (aka ho due definizioni in mente):
- date le parametrizzazioni $phi∘f∘psi$ è $C^oo$ la composizione è $C^oo$
- parametrizzo $S^2$ con phi e $phi∘f$è $C^oo$
Inizialmente avevo pensato alla mappa $f:(x,y,z)->(x/a,y/b,z/c)$ però non mi pare ben definita, sbaglio? perché $(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)=1$ non mi pare sia sempre vero.
però mi preoccupa come si appicciano tra loro le varie "carte" cioè le varie mappe delle 6 che trovo, io mi ritroverò con sei composizioni che sono differenziabil, nei punti di intersezione posso cambiare variabili e rimarranno differenziabili. Tutto ciò mi basta per dire che il tutto è un diffeomorfismo? perché a me pare diffeomorfismo per gni sngola mappa, ma poi nell'intersezone i vari punti sono date da mappe diverse e se le prendo tutte assieme non ho più univocità. Sono un po confuso
Mi piacerebbe chiedere un parere di questi 3 punti su chi ne sa di più, cioè tu
"Galla_Placida":
Tra l'altro altra domanda: Online ho trovato di provare che f:S2→M,(x,y,z)↦(ax,by,cz) sia un diffeo, ma non mi convince perché parendo da S2 come differenzio? Sbaglio o sta soluzione non è sensatissima?
Quello che non mi convinceva era questa parte.
Comunque se $U$ è un intorno aperto di $x\inS^2$ e $V$ lo è di $f(x)\inE$ (ellissoide), $\phi:RR^2->U$ è una parametrizzazione di $U$ e $\psi:RR^2->V$ una parametrizzazione di $V$, allora la funzione $f$ è differnziabile in $x$ se $\psi^(-1)\circ f\circ\phi:RR^2->RR^2$ lo è in $\phi^(-1)(x)$.
Poi una funzione è un diffeomorfismo se è biunivoca, ed essa e la sua inversa sono $C^\infty$.
Ho richiamato questi concetti perchè mi è sembrato che non li avessi chiarissimi, ora hai capito cosa devi fare? Devo scrivere le parametrizzazioni, fare la composizioni e vedere se ti viene una (anzi due, $f$ e $f^(-1)$) funzione $C^\infty$.
Sul secondo punto hai ragione, non è ben definita (in quella direzione).
Per il terzo punto, misembra che il tuo dubbio sia sostanzialmente se la definizione di differenziabilità sia ben posta, ovvero se l'esito può dipendere dalla parametrizzazione scelta. In effetti la definizione è ben posta ma va controllato, è quel tipo di cose da controllare una volta nella vita quando si stanno studiando le basi, provaci.
EDIT: edito parte con un errore
Quello che non mi convinceva era questa parte.[/quote]Ah ok perfetto. Ecco, quella è la parte che ho trovato online, nello svolgimento diceva che basta dimostrare che f:S2→M,(x,y,z)↦(ax,by,cz) sia un diffeomorfismo.
Però non mi convince per nulla perché certamente parte da $S^2$ e quello non mi turba, ma il fatto è che io non so differenziare su $S^2$, quindi anche se dimostro che quella f è differenziabile in realtà lo dimstro sulla sua estensione $f:R^3->R^3$ o comunque da un intorno aperto di $R^3$ e non da $S^2$. Era questo che volevo dire, e mi pare che sei d'accordo anche tu che quel modo di procedere non sia esattissimo.
Il mio procedimento era definire quella f che ho definito, provare che era iniettiva e suriettiva (svolto nel primo messaggio) FORSE questo era superfluo? L'ho fatto così ero sicuro che la composizione con phi e psi fosse invertibile sapendo già le parametrizzazioni invertibili. Poi non sono andato a scriverlo esplicitamente ma l'avevo solo accennato: la mia idea era andare a comporre quella f con 6 parametrizzazioni tipo questa $(x,y,z=sqrt(-x^2-y^2+1))$ e $x^2+y^2<1$ e le altre del tutto simili per l'ellissoide. La composizione $phi_i∘f∘psi_i$ poi si vede essere $C^oo$ per il semplice teorema del differenziale totale: ho funzioni con derivate parziali continue svolgibili infinite volte e sempre continue => differenziabile su tutto il dominio.
Poi lo faccio anche sull'inversa (con ragionamento analogo).
Sei d'accordo su questo metodo? O sto dicendo pirlate.
Il mio dubbio in realtà era più sciocco: quello che volevo dire io è che avendo la sfera parametrizzata da 6 carte, voglio che la f sia differenziabile su ogni punto di partenza del suo dominio $S^2$.
Io di fatto provo la differenziabilità come $phi_i∘f∘psi_i$ su singole parametrizzaizoni $phi_i, psi_i, i in {1,...,6}$, quindi io vorrei definire qualcosa di globale per f però spezzandolo in 6 funzioni diverse.
E quindi mi chiedevo definirla $C^oo$ spezzettandola sui vari "i" rende la f globalmente $C^oo$?
"otta96":
[quote="Galla_Placida"]Tra l'altro altra domanda: Online ho trovato di provare che f:S2→M,(x,y,z)↦(ax,by,cz) sia un diffeo, ma non mi convince perché parendo da S2 come differenzio? Sbaglio o sta soluzione non è sensatissima?
Quello che non mi convinceva era questa parte.[/quote]Ah ok perfetto. Ecco, quella è la parte che ho trovato online, nello svolgimento diceva che basta dimostrare che f:S2→M,(x,y,z)↦(ax,by,cz) sia un diffeomorfismo.
Però non mi convince per nulla perché certamente parte da $S^2$ e quello non mi turba, ma il fatto è che io non so differenziare su $S^2$, quindi anche se dimostro che quella f è differenziabile in realtà lo dimstro sulla sua estensione $f:R^3->R^3$ o comunque da un intorno aperto di $R^3$ e non da $S^2$. Era questo che volevo dire, e mi pare che sei d'accordo anche tu che quel modo di procedere non sia esattissimo.
Comunque se $U$ è un intorno aperto di $x\inS^2$ e $V$ lo è di $f(x)\inE$ (ellissoide), $\phi:RR^2->U$ è una parametrizzazione di $U$ e $\psi:RR^2->V$ una parametrizzazione di $V$, allora la funzione $f$ è differnziabile in $x$ se $\psi^(-1)\circ f\circ\phi:RR^2->RR^2$ lo è in $\phi^(-1)(x)$.Nono per fortuna su questo ci sono! Mi torna proprio come dici tu ed era quello che avevo in mente di fare.
Poi una funzione è un diffeomorfismo se è biunivoca, ed essa e la sua inversa sono $C^\infty$.
Il mio procedimento era definire quella f che ho definito, provare che era iniettiva e suriettiva (svolto nel primo messaggio) FORSE questo era superfluo? L'ho fatto così ero sicuro che la composizione con phi e psi fosse invertibile sapendo già le parametrizzazioni invertibili. Poi non sono andato a scriverlo esplicitamente ma l'avevo solo accennato: la mia idea era andare a comporre quella f con 6 parametrizzazioni tipo questa $(x,y,z=sqrt(-x^2-y^2+1))$ e $x^2+y^2<1$ e le altre del tutto simili per l'ellissoide. La composizione $phi_i∘f∘psi_i$ poi si vede essere $C^oo$ per il semplice teorema del differenziale totale: ho funzioni con derivate parziali continue svolgibili infinite volte e sempre continue => differenziabile su tutto il dominio.
Poi lo faccio anche sull'inversa (con ragionamento analogo).
Sei d'accordo su questo metodo?
O sto dicendo pirlate.Per il terzo punto, misembra che il tuo dubbio sia sostanzialmente se la definizione di differenziabilità sia ben posta, ovvero se l'esito può dipendere dalla parametrizzazione scelta. In effetti la definizione è ben posta ma va controllato, è quel tipo di cose da controllare una volta nella vita quando si stanno studiando le basi, provaci.Sì per fortuna mi ero già preso l'onere di controllarle e mi sono convinto che funziona.
Il mio dubbio in realtà era più sciocco: quello che volevo dire io è che avendo la sfera parametrizzata da 6 carte, voglio che la f sia differenziabile su ogni punto di partenza del suo dominio $S^2$.
Io di fatto provo la differenziabilità come $phi_i∘f∘psi_i$ su singole parametrizzaizoni $phi_i, psi_i, i in {1,...,6}$, quindi io vorrei definire qualcosa di globale per f però spezzandolo in 6 funzioni diverse.
E quindi mi chiedevo definirla $C^oo$ spezzettandola sui vari "i" rende la f globalmente $C^oo$?
"Galla_Placida":
Però non mi convince per nulla perché certamente parte da $S^2$ e quello non mi turba, ma il fatto è che io non so differenziare su $S^2$,
Te l'ho scritto io come si differenzia su $S^2$, se ci fai caso quella definizione riconduce la questione alla differenziabilità di una funzione da $RR^2$in sè.
Sei d'accordo su questo metodo?
Si è proprio come devi fare.
E quindi mi chiedevo definirla $C^oo$ spezzettandola sui vari "i" rende la f globalmente $C^oo$?
Si, è proprio quello di cui parlavo io, (va dimostrato che) puoi controllare che sia differenziabile in un punto scegliendo una qualsiasi parametrizzazione. Se fai questo per ogni punto è differenziabile globalmente, banalmente per definizione.
Grazie mille per il tuo aiuto, davvero.
Ecco, mi sfuggiva il fatto che per definizione lo fosse se vale su ogni composizione con $forall$ parametrizzazione. Poi che sia vero che ogni composizione funziona si può dimostrare prendendo due intorni sulla superficie che si intersecano, prendere un punto di quella intersezione e mostrare che localmente ho a che fare con cambio carte sempre $C^oo$ (almeno localmente), io me la sono giustificaa così: date due parametrizzazioni: $phi^-1∘psi$ posso estendere $phi$ a $Phi:RR^3->RR^3$ la quale per il thm della funzione inversa definisce $Phi^-1$ $C^oo$ localmente.
Ora ristetto al dominio di $psi^-1$ dell'intersezione sulla superficie ho che $phi^-1 ∘psi=Phi^-1 ∘psi$ ed è $C^oo$, non so se sia giusto ma la vedevo così.
Te l'ho scritto io come si differenzia su S2, se ci fai caso quella definizione riconduce la questione alla differenziabilità di una funzione da R2in sè.Certo che sì, ma era quello che dicevo anche che è quello che so che è il metodo per differenziare. Forse mi sono spiegato male, nella prima pare spiegavo esattamente il tuo metodo, poi ho detto: online ho trovato una soluzione guidata che diceva "per dimostrare f differenziabile, basta notare che f:S2→M,(x,y,z)↦(ax,by,cz) sia un diffeo vista come funzione da R2 (cioè lui differenziava proprio f non la composizione). E questo metodo stavo sindacando, perché non mi convinceva affatto.
Se fai questo per ogni punto è differenziabile globalmente, banalmente per definizione.
Ecco, mi sfuggiva il fatto che per definizione lo fosse se vale su ogni composizione con $forall$ parametrizzazione. Poi che sia vero che ogni composizione funziona si può dimostrare prendendo due intorni sulla superficie che si intersecano, prendere un punto di quella intersezione e mostrare che localmente ho a che fare con cambio carte sempre $C^oo$ (almeno localmente), io me la sono giustificaa così: date due parametrizzazioni: $phi^-1∘psi$ posso estendere $phi$ a $Phi:RR^3->RR^3$ la quale per il thm della funzione inversa definisce $Phi^-1$ $C^oo$ localmente.
Ora ristetto al dominio di $psi^-1$ dell'intersezione sulla superficie ho che $phi^-1 ∘psi=Phi^-1 ∘psi$ ed è $C^oo$, non so se sia giusto ma la vedevo così.
Ah, ora ho capito cosa non ti tornava e ci sta. Per l'altra cosa lascia stare le estensioni e parametrizzazioni, devi verificare la definizione di differenziabilità con delle parametrizzazioni sapendo che viene soddisfatta per altre.
Perfetto ero stato poco chiaro ora mi sono spiegato bene finalmente.
Siccome sei stato di grandissimo aiuto volevo solo chiarire un'ultima cosa per sicurezza, come si svolga l'esercizio mi è chiaro ormai e l ho fatto su carta, c'è solo un fraintendimento qui:
Siccome mi hai detto che almeno una volta nella vita vale la pena dimostrarsi che se ho due parametrizzazioni $phi, psi$ allora se prendo una o l'altra il concetto di differenziabilità per come definito non varia, allora io ho pensato di dimostrarmi che $phi^-1 ∘psi$ era differenziabile, cosìche se cambio parametrizzazione se so che questo passaggio è $C^oo$ lo faccio senza patemi d'animo. E io l'ho pensata così e volevo chiederti se andasse bene
non voleva essere parte dell'esercizio ma la dimostrazione che il cambio carta è $C^oo$. Secondo te può andare? Non avendola svolta alezione me la sono fatta da solo ma volevo capire se andasse.
ero stato poco chiaro ora mi sono spiegato bene finalmente.Siccome sei stato di grandissimo aiuto volevo solo chiarire un'ultima cosa per sicurezza, come si svolga l'esercizio mi è chiaro ormai e l ho fatto su carta, c'è solo un fraintendimento qui:
Siccome mi hai detto che almeno una volta nella vita vale la pena dimostrarsi che se ho due parametrizzazioni $phi, psi$ allora se prendo una o l'altra il concetto di differenziabilità per come definito non varia, allora io ho pensato di dimostrarmi che $phi^-1 ∘psi$ era differenziabile, cosìche se cambio parametrizzazione se so che questo passaggio è $C^oo$ lo faccio senza patemi d'animo. E io l'ho pensata così e volevo chiederti se andasse bene
Poi che sia vero che ogni composizione funziona si può dimostrare prendendo due intorni sulla superficie che si intersecano, prendere un punto di quella intersezione e mostrare che localmente ho a che fare con cambio carte sempre $C^oo$ (almeno localmente), io me la sono giustificaa così: date due parametrizzazioni: $phi^-1∘psi$ posso estendere $phi$ a $Phi:RR^3->RR^3$ la quale per il thm della funzione inversa definisce $Phi^-1$ $C^oo$ localmente.
Ora ristetto al dominio di $psi^-1$ dell'intersezione sulla superficie ho che $phi^-1 ∘psi=Phi^-1 ∘psi$ ed è $C^oo$, non so se sia giusto ma la vedevo così.
non voleva essere parte dell'esercizio ma la dimostrazione che il cambio carta è $C^oo$. Secondo te può andare? Non avendola svolta alezione me la sono fatta da solo ma volevo capire se andasse.
"Galla_Placida":
Siccome mi hai detto che almeno una volta nella vita vale la pena dimostrarsi che se ho due parametrizzazioni $phi, psi$ allora se prendo una o l'altra il concetto di differenziabilità per come definito non varia, allora io ho pensato di dimostrarmi che $phi^-1 ∘psi$ era differenziabile, cosìche se cambio parametrizzazione se so che questo passaggio è $C^oo$ lo faccio senza patemi d'animo. E io l'ho pensata così e volevo chiederti se andasse bene
È una po' incompleta ma fondamentalmente è per quello.
Posso chiederti cosa manca? Così ci ragiono su!
Manca che devi dimostrare che vale la definizione per le altre parametrizzazioni.
Aspetta allora forse sto sbagliando qualcosa, vediamo.
io dicevo questo, quindi mi pareva ovvio che avendo trovato che $phi^-1 ∘psi=Phi^-1 ∘psi$ è $C^oo$ (d'altra parte un discorso identico posso farlo dall'altra parte e quindi restringendo su domini dove funziona da ambo i versi ho che è diffeo), allora ogni volta che mostro che $ϕ∘f∘phi'$ è diffeo, non dipende dalla parametrizzazione perché, mettiamo di avere $f:S_1->S_2$ allora se $phi$ parametrizza la prima e $phi'$ la seconda ho $phi'∘f∘phi$ che è $ C^oo$ per mia definizione e quindi $phi'∘f∘phi∘phi^-1 ∘psi=phi'∘f∘psi$ composizione $C^oo$ e quindi $C^oo$
Idem sulla prima superficie. Quindi ho indipendenza dalle parametrizzazioni scelte.
Poi che sia vero che ogni composizione funziona si può dimostrare prendendo due intorni sulla superficie che si intersecano, prendere un punto di quella intersezione e mostrare che localmente ho a che fare con cambio carte sempre $C^oo$ (almeno localmente), io me la sono giustificaa così: date due parametrizzazioni: $phi^-1∘psi$ posso estendere $phi$ a $Phi:RR^3->RR^3$ la quale per il thm della funzione inversa definisce $Phi^-1$ $C^oo$ localmente.
Ora ristetto al dominio di $psi^-1$ dell'intersezione sulla superficie ho che $phi^-1 ∘psi=Phi^-1 ∘psi$ ed è $C^oo$, non so se sia giusto ma la vedevo così.
io dicevo questo, quindi mi pareva ovvio che avendo trovato che $phi^-1 ∘psi=Phi^-1 ∘psi$ è $C^oo$ (d'altra parte un discorso identico posso farlo dall'altra parte e quindi restringendo su domini dove funziona da ambo i versi ho che è diffeo), allora ogni volta che mostro che $ϕ∘f∘phi'$ è diffeo, non dipende dalla parametrizzazione perché, mettiamo di avere $f:S_1->S_2$ allora se $phi$ parametrizza la prima e $phi'$ la seconda ho $phi'∘f∘phi$ che è $ C^oo$ per mia definizione e quindi $phi'∘f∘phi∘phi^-1 ∘psi=phi'∘f∘psi$ composizione $C^oo$ e quindi $C^oo$
Idem sulla prima superficie. Quindi ho indipendenza dalle parametrizzazioni scelte.
Si è giusto.
Grazie mille, sei stato molto gentile
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