Diffeomorfismi e curve equivalenti
Siano $ \barr_1(t)=(x_1(t),...,x_n(t)) :t\in[a,b] $ e $ \barr_2(s)=(x_1(s),...,x_n(s)) :s\in[c,d] $ due curve. Esse si dicono equivalenti se $ \exists\psi:[a,b]->[c,d] $ tale che $ \barr_1(t)=\barr_2(\psi(t))\forallt\in[a,b] $ con $ \psi $ di classe $ C^1 $ e $ \psi'(t)!= 0\forallt\in[a,b] $.
Con le ipotesi a disposizione vorrei ricavare che $ \psi $ è invertibile.
La derivata di $ \psi' $ è continua e non è mai nulla in $ [a,b] $ quindi o è sempre positiva o è sempre negativa in tutto $ [a,b] $ e non può cambiare segno passando da un sottointervallo di $ [a,b] $ all'altro perchè continua e mai nulla (esiste un teorema a cui riferirmi per essere più rigoroso?). La conseguenza diretta e che $ \psi $ è strettamente monotona. $ \psi $ è dunque continua e strettamente monotona in $ [a,b] $ e quindi ivi invertibile
Detta $ \psi^-1:[c,d]->[a,b] $ l'inversa di $ \psi $, risulta $ \barr_2(s)=\barr_1(\psi^-1(s))\foralls\in[c,d] $ con $ \psi^-1 $ di classe $ C^1 $ e $ \(psi^-1)'(s)!= 0\foralls\in[c,d] $.
Vorrei capire perchè $ \psi^-1 $ è di classe $ C^1 $ ed ha derivata mai nulla in $ [c,d] $.
$ \psi^-1 $ è l'inversa di una funzione continua e strettamente monotona quindi è anch'essa continua e strettamente monotona (con lo stesso carattere). Se è strettamente monotona allora $ \(psi^-1)'(s)!= 0\foralls\in[c,d] $ ma cosa mi dice che $ (\psi^-1)' $ è continua?
Poi vorrei capire anche la questione dell'orientamento.
Se $ \psi $ è crescente allora il primo estremo di $ \barr_1 $ è anche il primo estremo di $ \barr_2 $ e così per l'ultimo estremo.
Essendo $ \psi $ continua e crescente, essa assume tutti i valori compresi tra il suo minimo ed il suo massimo che sono $ \psi(a) $ e $ \psi(b) $, Quello che non capisco è perchè sarà $ \psi(a)=c $ e $ \psi(b)=d $.
La controparte è che se $ \psi $ è decrescente allora il primo estremo di $ \barr_1 $ è il secondo estremo di $ \barr_2 $ e viceversa.
In questo caso è chiaro che il massimo di $ \psi $ sia in $ \a $ ed il minimo in $ b $ e quindi $ \psi:[a,b]->[\psi(b),\psi(a)] $ però ancora non comprendo perchè $ \psi(b)=c $ e $ \psi(a)=d $.
Grazie mille in anticipo
Con le ipotesi a disposizione vorrei ricavare che $ \psi $ è invertibile.
La derivata di $ \psi' $ è continua e non è mai nulla in $ [a,b] $ quindi o è sempre positiva o è sempre negativa in tutto $ [a,b] $ e non può cambiare segno passando da un sottointervallo di $ [a,b] $ all'altro perchè continua e mai nulla (esiste un teorema a cui riferirmi per essere più rigoroso?). La conseguenza diretta e che $ \psi $ è strettamente monotona. $ \psi $ è dunque continua e strettamente monotona in $ [a,b] $ e quindi ivi invertibile
Detta $ \psi^-1:[c,d]->[a,b] $ l'inversa di $ \psi $, risulta $ \barr_2(s)=\barr_1(\psi^-1(s))\foralls\in[c,d] $ con $ \psi^-1 $ di classe $ C^1 $ e $ \(psi^-1)'(s)!= 0\foralls\in[c,d] $.
Vorrei capire perchè $ \psi^-1 $ è di classe $ C^1 $ ed ha derivata mai nulla in $ [c,d] $.
$ \psi^-1 $ è l'inversa di una funzione continua e strettamente monotona quindi è anch'essa continua e strettamente monotona (con lo stesso carattere). Se è strettamente monotona allora $ \(psi^-1)'(s)!= 0\foralls\in[c,d] $ ma cosa mi dice che $ (\psi^-1)' $ è continua?
Poi vorrei capire anche la questione dell'orientamento.
Se $ \psi $ è crescente allora il primo estremo di $ \barr_1 $ è anche il primo estremo di $ \barr_2 $ e così per l'ultimo estremo.
Essendo $ \psi $ continua e crescente, essa assume tutti i valori compresi tra il suo minimo ed il suo massimo che sono $ \psi(a) $ e $ \psi(b) $, Quello che non capisco è perchè sarà $ \psi(a)=c $ e $ \psi(b)=d $.
La controparte è che se $ \psi $ è decrescente allora il primo estremo di $ \barr_1 $ è il secondo estremo di $ \barr_2 $ e viceversa.
In questo caso è chiaro che il massimo di $ \psi $ sia in $ \a $ ed il minimo in $ b $ e quindi $ \psi:[a,b]->[\psi(b),\psi(a)] $ però ancora non comprendo perchè $ \psi(b)=c $ e $ \psi(a)=d $.
Grazie mille in anticipo
Risposte
Teorema di derivazione della funzione inversa...
Ok grazie sono riuscito ad uscirmene. Ora ho un altro dubbio:
Consideriamo la cardioide
$ \barr_1(\theta)=(a(1+cos\theta)\cos\theta,a(1+cos\theta)sen\theta) $ con $ a>0 $ e $ \theta\in[0,2\pi] $.
E' una curva piana, chiusa semplice ma non regolare perchè per $ \theta=\pi->\barr'(\pi)=0 $. Se la si ridefinisce come $ \barr_2(\phi)=(a(1+cos\phi)\cos\phi,a(1+cos\phi)sen\phi) $ con $ a>0 $ e $ \phi\in[-\pi,pi] $
è regolare.
Vorrei verificare se le due curve sono equivalenti. Esse descrivono lo stesso sostegno quindi potrebbero esserlo. Però $ \psi:[0,2\pi]->[-pi,pi] $ deve essere strettamente monotona in $ [0,2\pi] $ e quindi assumere i suoi valori massimo e minimo (che sono rispettivamente $ \pi $ e $ -\pi $) negli estremi di $[0,2\pi] $. Deve essere o $ \psi(0)=\pi $ oppure $ \psi(0)=-\pi $. Ma le curve $ \barr_1(\theta) $ e $ \barr_2(\phi) $ non hanno nè estremi coincidenti nè opposti e non potrà mai essere $ \barr_1(0)=\barr_2(\psi(0)) $. Concluderei che le due curve non sono equivalenti.
Si può dire che, in generale, due curve equivalenti devono avere o estremi coincidenti o opposti?
Grazie
Consideriamo la cardioide
$ \barr_1(\theta)=(a(1+cos\theta)\cos\theta,a(1+cos\theta)sen\theta) $ con $ a>0 $ e $ \theta\in[0,2\pi] $.
E' una curva piana, chiusa semplice ma non regolare perchè per $ \theta=\pi->\barr'(\pi)=0 $. Se la si ridefinisce come $ \barr_2(\phi)=(a(1+cos\phi)\cos\phi,a(1+cos\phi)sen\phi) $ con $ a>0 $ e $ \phi\in[-\pi,pi] $
è regolare.
Vorrei verificare se le due curve sono equivalenti. Esse descrivono lo stesso sostegno quindi potrebbero esserlo. Però $ \psi:[0,2\pi]->[-pi,pi] $ deve essere strettamente monotona in $ [0,2\pi] $ e quindi assumere i suoi valori massimo e minimo (che sono rispettivamente $ \pi $ e $ -\pi $) negli estremi di $[0,2\pi] $. Deve essere o $ \psi(0)=\pi $ oppure $ \psi(0)=-\pi $. Ma le curve $ \barr_1(\theta) $ e $ \barr_2(\phi) $ non hanno nè estremi coincidenti nè opposti e non potrà mai essere $ \barr_1(0)=\barr_2(\psi(0)) $. Concluderei che le due curve non sono equivalenti.
Si può dire che, in generale, due curve equivalenti devono avere o estremi coincidenti o opposti?
Grazie
Forse il problema è che la nozione di curve equivalenti si estende solo alle curve regolari?
Anche perchè altrimenti non vedrei la necessità di definire l'integrale curvilineo di prima specie sulle sole curve regolari. La regolarità di certo garantisce la continuità di $ |\barr'(t)| $ e quindi l'integrabilità di $ f(\r(t))|\barr'(t)| $ (se f è continua) ma la richiesta di non nullità di $ |\barr'(t)| $ non sarebbe necessaria e quindi basterebbe che la curva sia $ C^1 $. Se invece il concetto di equivalenza tra curve vive solo nel contesto delle curve regolari allora definire l'integrale curvilineo su di esse permette di ottenere l'importante proprietà della sua indipendenza per parametrizzazioni equivalenti. (E' una giusta osservazione?)
Quello che vorrei sapere in parole povere e se, prima di parlare di curve equivalenti, è richiesta la loro regolarità. Da questo penso poi di aver risolto ogni dubbio.
Grazie
Anche perchè altrimenti non vedrei la necessità di definire l'integrale curvilineo di prima specie sulle sole curve regolari. La regolarità di certo garantisce la continuità di $ |\barr'(t)| $ e quindi l'integrabilità di $ f(\r(t))|\barr'(t)| $ (se f è continua) ma la richiesta di non nullità di $ |\barr'(t)| $ non sarebbe necessaria e quindi basterebbe che la curva sia $ C^1 $. Se invece il concetto di equivalenza tra curve vive solo nel contesto delle curve regolari allora definire l'integrale curvilineo su di esse permette di ottenere l'importante proprietà della sua indipendenza per parametrizzazioni equivalenti. (E' una giusta osservazione?)
Quello che vorrei sapere in parole povere e se, prima di parlare di curve equivalenti, è richiesta la loro regolarità. Da questo penso poi di aver risolto ogni dubbio.
Grazie
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