Diffeomorfismi

[Meetmat]

Dal libro di analisi:

$ varphi:Omega ->Y $ è un diffeomorfismo se e solo se

i) $ varphi $ è iniettiva,
ii) $ varphiinC^1(Omega,RR^n) $ ,
iii)esiste una funzione $ psi :Wsup varphi(Omega)->RR^r $ di classe $ C^1 $ definita su un aperto $ W sup varphi(Omega) $ tale che $ psi (varphi(x))=x $ per ogni $ x in Omega $.

Derivando l'identità $ psi(varphi(x))=x ,AAx inOmega $ con la regola della catena, si ottiene
$ Dpsi(varphi(x))Dvarphi(x)=Id , AA x in Omega $

perciò $ Dvarphi(x):RR^r->RR^n $ è iniettiva.

Non riesco a capire quest'ultima frase "perciò $ Dvarphi(x):RR^r->RR^n $ è iniettiva" ,come fa a dirlo ?

Grazie.

[dissonance]

E' una cosa standard di funzioni. Dire che \(F\colon A\to B\) è iniettiva equivale a dire che esiste una applicazione \(G\colon B\to A\) (inversa sinistra) tale che \(G(F(a))=a\) per ogni \(a\in A\). (Similmente, \(F\) è surgettiva se e solo se esiste una inversa destra: quest'ultima affermazione richiede in generale l'assioma della scelta. Vabbé).

Per vedere queste cose ricordati i disegnini con due diagrammi di Venn per \(A\) e \(B\) e le freccette che vanno da \(A\) a \(B\).

[Meetmat]

Quello che dici mi torna ma non riesco a vederlo nel caso in questione.
$ D phi(x) $ non dovrebbe allora andare da $ RR^n->RR^r $ ?

Grazie ancora.

[dissonance]

Buh. Ma tanto alla fine deve risultare $r=n$ per forza. Si saranno sbagliati a scrivere.

[Meetmat]

Ok grazie.