Dibbio polinomio di Taylor
avrei un dubbio su come si sviluppa il polinomio di Taylor di una funzione composta.
Ad esempio: se considero $e^(x^2)$, sapendo a priori lo sviluppo di $e^x$, e dato che $x^2->0$ per $x->0$ allora posso sostituire alla x il valore $ x^2$ nello sviluppo di $e^x$ per ottenere lo sviluppo di $e^(x^2)$. e qui non ci piove.
Se considero questo caso: log(cos x)
se io so lo sviluppo di log(x+1), con $x+1->1 $ per $x->0$, allora perchè non posso semplicemente sostituire alla x nello sviluppo di log(x+1), lo sviluppo di cos(x), dato che comunque $cosx->1$ per $x->0$?
grazie a tutti per eventuali chiarimenti!
Ad esempio: se considero $e^(x^2)$, sapendo a priori lo sviluppo di $e^x$, e dato che $x^2->0$ per $x->0$ allora posso sostituire alla x il valore $ x^2$ nello sviluppo di $e^x$ per ottenere lo sviluppo di $e^(x^2)$. e qui non ci piove.
Se considero questo caso: log(cos x)
se io so lo sviluppo di log(x+1), con $x+1->1 $ per $x->0$, allora perchè non posso semplicemente sostituire alla x nello sviluppo di log(x+1), lo sviluppo di cos(x), dato che comunque $cosx->1$ per $x->0$?
grazie a tutti per eventuali chiarimenti!
Risposte
io svilupere cosx
$1+(-1/2x^2+1/4!x^4+o(x^4))$
poi sviluppere log(1+x) ponendo x come quello che ho messo tra parentesi.
però non ho capito bene cosa intendi
bellissima frase in firma comunque
$1+(-1/2x^2+1/4!x^4+o(x^4))$
poi sviluppere log(1+x) ponendo x come quello che ho messo tra parentesi.
però non ho capito bene cosa intendi
bellissima frase in firma comunque
"Aeon":
io svilupere cosx
$1+(-1/2x^2+1/4!x^4+o(x^4))$
poi sviluppere log(1+x) ponendo x come quello che ho messo tra parentesi.
però non ho capito bene cosa intendi
bellissima frase in firma comunque
ah no, forse ora ho capito...considerando il fatto di voler sviluppare log(cosx) fino al grando 2, se provo a sostituire lo sviluppo del (cos x) allo sviluppo di log(1+x) dovrei considerare tutte le possibili potenze di binomio, dato che avrei sempre un $(1+1/2x^2)^n$ dove dovrei considerare ogni volta la potenza ennesima di 1 ed il N-prodotto tra $(1^(n-1)) * (1/2x^2)$ ottenendo di conseguenza sempre degli elementi di grado <= 2 utili per il calcolo del polinomio...o almeno questo è quello che mi sembra di aver osservato...
(
bella eh la firma )
devi trovare tutte le potenze che potrebbero dare x^2
"Aeon":infatti! ma se provi solamente a sostituire lo sviluppo del cos x alla x dello sviluppo di log(1+x) ti accorgerai che in ogni possibile potenza del binomio $(1+1/2x^2)$ c'è una potenza con grado <=2...pertanto quella sostituzione non porterebbe da nessuna parte:
devi trovare tutte le potenze che potrebbero dare x^2
$(1+1/2x^2) - 1/2(1+1/2x^2)^2 + 1/3(1+1/2x^2)^3 - 1/4 (1+1/2x^2)^4 + ...... - 1/180(1+1/2x^2)^180+.....$
anche se le potenze sono molto elevate, ci sarebbero da considerare sempre gli N-prodotti, ad esempio: $180*(1^179)(1+1/2x^2)$
che darebbero sempre degli $x^2$ utili alla fine della computazione...proseguendo dunque all'infinito..pertanto quella sostituzione non porta da nessuna parte...
"dave03":infatti! ma se provi solamente a sostituire lo sviluppo del cos x alla x dello sviluppo di log(1+x) ti accorgerai che in ogni possibile potenza del binomio $(1+1/2x^2)$ c'è una potenza con grado <=2...pertanto quella sostituzione non porterebbe da nessuna parte:
[quote="Aeon"]devi trovare tutte le potenze che potrebbero dare x^2
$(1+1/2x^2) - 1/2(1+1/2x^2)^2 + 1/3(1+1/2x^2)^3 - 1/4 (1+1/2x^2)^4 + ...... - 1/180(1+1/2x^2)^180+.....$
anche se le potenze sono molto elevate, ci sarebbe da considerare sempre gli N-prodotti, ad esempio: $180*(1^180)(1+1/2x^2)$
che darebbero sempre degli x^2 utili alla fine della computazione...proseguenso dunque all'infinito..[/quote]
ehm lo sviluppo del logaritmo porterebbe a
$(1/2x^2)-1/2((1/2)x^2)^2+1/3((1/2)x^2)^3$ ecc.
l'uno non rientra nello sviluppo
"Aeon":infatti! ma se provi solamente a sostituire lo sviluppo del cos x alla x dello sviluppo di log(1+x) ti accorgerai che in ogni possibile potenza del binomio $(1+1/2x^2)$ c'è una potenza con grado <=2...pertanto quella sostituzione non porterebbe da nessuna parte:
[quote="dave03"][quote="Aeon"]devi trovare tutte le potenze che potrebbero dare x^2
$(1+1/2x^2) - 1/2(1+1/2x^2)^2 + 1/3(1+1/2x^2)^3 - 1/4 (1+1/2x^2)^4 + ...... - 1/180(1+1/2x^2)^180+.....$
anche se le potenze sono molto elevate, ci sarebbe da considerare sempre gli N-prodotti, ad esempio: $180*(1^180)(1+1/2x^2)$
che darebbero sempre degli x^2 utili alla fine della computazione...proseguenso dunque all'infinito..[/quote]
ehm lo sviluppo del logaritmo porterebbe a
$(1/2x^2)-1/2((1/2)x^2)^2+1/3((1/2)x^2)^3$ ecc.
l'uno non rientra nello sviluppo[/quote]
perchè non rientra nello sviluppo? visto che $cos x = 1-1/2x^2$ ?
a questo punto quello che ho detto io sarebbe anche giusto, se non fosse basato su una marea di fregnacce
lo sviluppi di log(1+x)
è
x-(1/2)x^2 ecc.
al posto di x tu non hai 1-(1/2)x^2
ma solo -(1/2)x^2
perchè l'uno ti serve per potere creare un confronto tra (1+x) e (1+(quello che vuoi tu))
è
x-(1/2)x^2 ecc.
al posto di x tu non hai 1-(1/2)x^2
ma solo -(1/2)x^2
perchè l'uno ti serve per potere creare un confronto tra (1+x) e (1+(quello che vuoi tu))
"Aeon":
lo sviluppi di log(1+x)
è
x-(1/2)x^2 ecc.
al posto di x tu non hai 1-(1/2)x^2
ma solo -(1/2)x^2
perchè l'uno ti serve per potere creare un confronto tra (1+x) e (1+(quello che vuoi tu))
....mmmm non ho capito
dunque
log(1+x)=$x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+o(x^3)$ ok?
se tu avessi
log(1+y) semplicemente al posto della x scriveresti y.
immaginiamo che la nostra y = $z^2$
dove prima avevi la y ora scrivi $z^2$
y può essere un qualsiasi polinomio
questo per farti capire che 1 non devi nemmeno prenderlo in considerazione
log(1+x)=$x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+o(x^3)$ ok?
se tu avessi
log(1+y) semplicemente al posto della x scriveresti y.
immaginiamo che la nostra y = $z^2$
dove prima avevi la y ora scrivi $z^2$
y può essere un qualsiasi polinomio
questo per farti capire che 1 non devi nemmeno prenderlo in considerazione
"Aeon":
dunque
log(1+x)=$x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+o(x^3)$ ok?
se tu avessi
log(1+y) semplicemente al posto della x scriveresti y.
immaginiamo che la nostra y = $z^2$
dove prima avevi la y ora scrivi $z^2$
y può essere un qualsiasi polinomio
questo per farti capire che 1 non devi nemmeno prenderlo in considerazione
in pratica quando effettuo la sostituzione, le costanti che non moltiplicano una potenza > 0 di y non le devo considerare, giusto?
ma quello che mi lascia perplesso è il fatto che io sto facendo la sostituzione di uno sviluppo in un altro sviluppo, di conseguenza il valore 1 mi viene da considerarlo come fosse parte integrante dello sviluppo che vado a rimpiazzare, cioè come fosse un $y^0$...
"dave03":
[quote="Aeon"]dunque
log(1+x)=$x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+o(x^3)$ ok?
se tu avessi
log(1+y) semplicemente al posto della x scriveresti y.
immaginiamo che la nostra y = $z^2$
dove prima avevi la y ora scrivi $z^2$
y può essere un qualsiasi polinomio
questo per farti capire che 1 non devi nemmeno prenderlo in considerazione
in pratica quando effettuo la sostituzione, le costanti che non moltiplicano una potenza > 0 di y non le devo considerare, giusto?
ma quello che mi lascia perplesso è il fatto che io sto facendo la sostituzione di uno sviluppo in un altro sviluppo, di conseguenza il valore 1 mi viene da considerarlo come fosse parte integrante dello sviluppo che vado a rimpiazzare, cioè come fosse un $y^0$...[/quote]
lo è, ma non tutti i fattori che ottieni dal primo sviluppo rientrano nel secondo, alcuni ti servono per renderlo equivalente ad uno sviluppo notevole, nel tuo caso quel fattore è il numero 1
se per esempio avessi avuto log(senx)
veniva log($x-(1/3!)x^3$)
che non potevi sviluppare subito perchè non è nella forma log(1+x)
"Aeon":
se per esempio avessi avuto log(senx)
veniva log($x-(1/3!)x^3$)
scusa, non ho capito che cos'è sta roba...il se x -> 0 per x->0...allora come fai a trasformarlo in uno sviluppo notevole?
(scusa ma c'ho la testa di piombo su ste cose...:S)
"dave03":
[quote="Aeon"]
se per esempio avessi avuto log(senx)
veniva log($x-(1/3!)x^3$)
scusa, non ho capito che cos'è sta roba...il sen x -> 0 per x->0...allora come fai a trasformarlo in uno sviluppo notevole?[/quote]
non so se si può trasformalo infatti, era solo un esempio per farti capire il ruolo dell'1
comunque si, su può trasformare,
viene $log[x(1-(1/3!)x^2)]$
quindi $logx+log(1-(1/3!)x^2)$
il secondo logaritmo è uno sviluppo notevole
viene $log[x(1-(1/3!)x^2)]$
quindi $logx+log(1-(1/3!)x^2)$
il secondo logaritmo è uno sviluppo notevole
"Aeon":
[quote="dave03"][quote="Aeon"]
se per esempio avessi avuto log(senx)
veniva log($x-(1/3!)x^3$)
scusa, non ho capito che cos'è sta roba...il sen x -> 0 per x->0...allora come fai a trasformarlo in uno sviluppo notevole?[/quote]
non so se si può trasformalo infatti, era solo un esempio per farti capire il ruolo dell'1[/quote]
vediamo se ho capito: nel caso log(cos x), dato che $cos x= 1-1/2x^2$ ecc ecc..potevo non considerare l'1 dello sviluppo del coseno in quanto quello mi permetteva di ottenere lo sviluppo necessario ad applicare lo sviluppo del log(1+x). In dattaglio sarebbe stato tipo ottenere $log(1+ (-1/2x^2))$ dunque il valore della x che avrei dovuto considerare sarebbe stato $(-1/2x^2)$ che sarei andato a sostituire allo sviluppo noto del log(1+x)
Nel caso $log(sin x)$ dato che l'argomento del logaritmo non tente ad 1, bensì a zero, non ho modo di trasformare la funzione in argomento così da ottenere lo sviluppo del logaritmo che mi servirebbe...quindi lo sviluppo di tale funzione non c'è (o almeno se Derive non dice stupidate, ho controllato e nemmeno lui riesce a calcolarlo...)
ci sono oppure sono fuori strada?
"dave03":
[quote="Aeon"][quote="dave03"][quote="Aeon"]
se per esempio avessi avuto log(senx)
veniva log($x-(1/3!)x^3$)
scusa, non ho capito che cos'è sta roba...il sen x -> 0 per x->0...allora come fai a trasformarlo in uno sviluppo notevole?[/quote]
non so se si può trasformalo infatti, era solo un esempio per farti capire il ruolo dell'1[/quote]
vediamo se ho capito: nel caso log(cos x), dato che $cos x= 1-1/2x^2$ ecc ecc..potevo non considerare l'1 dello sviluppo del coseno in quanto quello mi permetteva di ottenere lo sviluppo necessario ad applicare lo sviluppo del log(1+x). In dattaglio sarebbe stato tipo ottenere $log(1+ (-1/2x^2))$ dunque il valore della x che avrei dovuto considerare sarebbe stato $(-1/2x^2)$ che sarei andato a sostituire allo sviluppo noto del log(1+x)
Nel caso $log(sin x)$ dato che l'argomento del logaritmo non tente ad 1, bensì a zero, non ho modo di trasformare la funzione in argomento così da ottenere lo sviluppo del logaritmo che mi servirebbe...quindi lo sviluppo di tale funzione non c'è (o almeno se Derive non dice stupidate, ho controllato e nemmeno lui riesce a calcolarlo...)
ci sono oppure sono fuori strada?[/quote]
si
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