Diametro intorno sferico

[miry93-thebest]

ciao ! come si calcola il diametro di una palla B(xo,R)?
so che il diametro= sup {d(x,y): x,y appartenenti alla palla} , ma praticamente come lo trovo???

[gio73]

$x_0$ è il centro e $R$ il raggio?

racchiudi le formule nel segno del dollaro, la lettura sarà più agevole.

[miry93-thebest]

va bene, cmq si, il centro è $ xo $ e il raggio è $ R $

[gio73]

forse non ho ben capito... ma se il raggio della sfera è $R$ allora il diametro sarà $2R$, isn't it?

[miry93-thebest]

Ma non è una sfera ! è una palla, vale a dire un intorno sferico

[gugo82]

Innanzitutto, c'è bisogno che tu impari a descrivere con più particolari i tuoi problemi.
Ad esempio, in che spazio siamo? In \(\mathbb{R}^3\), in \(\mathbb{R}^4\), in \(\mathbb{R}^N\)? In uno spazio metrico astratto?
Quale è la metrica che genera la palla? Quella euclidea standard? Una metrica \(L^1\)? Una metrica a casaccio?

[miry93-thebest]

Siamo in $ R^n $. La metrica è quella euclidea.

[gugo82]

Allora si tratta di un conto standard.

Innanzitutto, nota che \(d(x,y)\leq d(x,x_0) + d(x_0,y)\leq 2r\) quando \(x,y\in B(x_0;r)\) (per la disuguaglianza triangolare); quindi hai certamente \(\operatorname{diam} B(x_0;r)\leq 2r\).
Vorresti far vedere (come intuizione vuole) che il diametro è il doppio del raggio, cioé \(\operatorname{diam} B(x_0;r) = 2r\) e, come ben sai, per fare ciò occorre e basta mostrare che per ogni \(\varepsilon >0\) esistono \(x_\varepsilon , y_\varepsilon \in B(x_0;r)\) tali che \(d(x_\varepsilon , y_\varepsilon)>2r-\varepsilon\). Ma questa è una cosa davvero elementare, dato che basta cercare i punti \(x_\varepsilon , y_\varepsilon\) su una qualsiasi retta condotta per il centro della palla...

Prova a fare un disegnino nel caso bidimensionale e cerca di capire perché e come fare.

[miry93-thebest]

"gugo82":mostrare che per ogni \(\varepsilon >0\) esistono \(x_\varepsilon , y_\varepsilon \in B(x_0;r)\) tali che \(d(x_\varepsilon , y_\varepsilon)>2r-\varepsilon\).

non ho capito. Perché dovrebbe farsi così?

nel caso dimensionale farei un sistema tra la retta passante per i punti e la curva che delinea l'intorno. ma nel caso n-dimensionale??? come procedo??? e la cosa che non mi è chiara è perchè deve uscire proprio 2r se la palla non è comunque circolare????

[gugo82]

"miry77":[quote="gugo82"]mostrare che per ogni \(\varepsilon >0\) esistono \(x_\varepsilon , y_\varepsilon \in B(x_0;r)\) tali che \(d(x_\varepsilon , y_\varepsilon)>2r-\varepsilon\).

non ho capito. Perché dovrebbe farsi così?[/quote]
Qual è la definizione di \(\sup\)?

"miry77":nel caso dimensionale farei un sistema tra la retta passante per i punti e la curva che delinea l'intorno. ma nel caso n-dimensionale??? come procedo??? e la cosa che non mi è chiara è perchè deve uscire proprio 2r se la palla non è comunque circolare????

"La palla non è circolare"?!?! Secondo te com'è fatta?
Prova a fare un disegno tridimensionale.

Ad ogni modo, il valore \(2r\) è suggerito dalla disuguaglianza triangolare come ho detto nel post sopra.
Dato che la disuguaglianza triangolare è, in un certo senso, abbastanza precisa per quel che riguarda queste stime, è chiaro che puoi prendere il valore \(2r\) come candidato ad essere il \(\sup\) e regolarti di conseguenza.

[miry93-thebest]

il nostro prof ci ha detto che non è esattamente una sfera... ora cosa posso dirti !
il sup è il più piccolo dei minoranti...

quindi cosa devo fare? continuo a non capire. ok per la disuguaglianza triangolare e per il 2r, poi??? come faccio a dimostrare che è il sup della distanza tra due punti x e y della palla?

[gio73]

Allora...
ho letto quanto riporta wiki

vi dico che cosa ci ho capito

@gugo: conto su di te per correggere gli svarioni

Vediamo di partire da un insieme facile, la retta $RR$, fisso un punto $x_0$ a piacere, ad esempio $x_0=2$ e dico che un intorno di $x_0$ è un insieme tale per cui $x_0$ appartiene all'insieme ed anche gli elementi che si trovano prima di $x_0$ la cui distanza da $x_0$ è minore di una quantità fissata (poniamo $1$) e quelli che sono dopo $x_0$ sempre entro una distanza fissata (poniamo $2$) sicché ottengo l'insieme $(1;4)$, aperto se gli estremi non sono compresi, chiuso $[1;4]$ se gli estremi sono compresi. Se la distanza da $x_0$ entro la quale gli elementi dell'intorno devono rimanere è sempre uguale allora dico che l'intono è sferico, nel nostro caso fissiamo $x_0=2$ e la distanza $1$ il nostro intorno aperto sarà $(1;3)$, rispettivamente quello chiuso sarà $[1;3]$.
Dalla retta passiamo al piano ($RR^2$) e ci accorgiamo subito che il nostro punto non è più determinato da un solo numero, ma da una coppia ordinata di numeri $P(x_P;y_P)$ e per vedere quali sono tutti i punti che stanno entro una certa distanza prefissata (chiamiamola $r$) devo usare il teorema di Pitagora $r>=sqrt((x-x_P)^2+(y-y_P)^2)$ e così ottengo un cerchio, poi passo allo spazio ($RR^3$) e il punto ha tre coordinate $P(x_P; y_P; z_P)$, ma non mi spavento e continuo a dire che la distanza tra il punto $P$ e un generico punto appartenente all'intorno sferico deve sempre essere inferiore ad un numero prefissato $r$ perciò $r>=sqrt((x-x_P)^2+(y-y_P)^2+(z-z_P)^2)$, ecco una sfera vera e propria. Ormai però ho capito il trucco e non mi spavento se si aggiunge ancora una dimensione ($RR^4$): $P(x_P;y_P; z_P; w_P)$, per avere un intorno sferico devo fare in modo che tutti i punti sia entro una determinata distanza scrivo $r>=sqrt(((x-x_P)^2+(y-y_P)^2+(z-z_P)^2+(w-w_P)^2)$, ora questo insieme non riesco più a visualizzarlo come un segmento (caso unidimensionale), un cerchio (caso bidimensionale), una sfera (caso tridimensionale), così si può trovare un altro nome che vada bene per tutti (quando le dimensioni, 1, 2, 3, 4, 5... non sono specificate), potrebbe essere palla?

[gugo82]

@ miry77:

L'esercizio ti chiede di determinare \(D:=\sup_{x,y\in B(x_0;r)} d(x,y)\).
Quindi, grossomodo, devi fare le seguenti cose:

[list=I][*:58rh96ge] dimostrare che il \(D\) è finito o che è infinito;

[list=1][*:58rh96ge] se \(D\) è infinito, hai terminato;

[/*:m:58rh96ge]
[*:58rh96ge] se \(D\) è finito:

[list=a][*:58rh96ge] indovinare un valore plausibile per \(D\);

[/*:m:58rh96ge]
[*:58rh96ge] dimostrare che il valore plausibile indovinato al punto a è proprio il valore effettivo di \(D\), o non lo è;

[/*:m:58rh96ge]
[*:58rh96ge] se il valore plausibile indovinato al punto a non è quello giusto, proporre una nuova idea di tale valore plausibile e ritornare al punto b.[/*:m:58rh96ge][/list:o:58rh96ge][/*:m:58rh96ge][/list:o:58rh96ge][/*:m:58rh96ge][/list:o:58rh96ge]
Per districare il problema di cui al punto I è necessario usare opportune disuguaglianze; dato che stai operando con una metrica, le uniche disuguaglianze disponibili sono la disuguaglianza triangolare diretta, i.e.:
\[
d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\; ,
\]
e la disuguaglianza triangolare inversa:
\[
\left| d(x,z) - d(z,y) \right| \leq d(x,y)\; .
\]
In particolare, la prima fornisce una maggiorazione della quantità che ti serve, quindi potrebbe essere usata per dimostrare la finitezza di \(D\); mentre la seconda fornisce una minorazione della quantità che ti interessa, quindi potrebbe essere usata per dimostrare \(D=\infty\). In entrambi i casi, usando tali disuguaglianze avresti risolto il punto I.
Nel caso di finitezza, l'uso della disuguaglianza triangolare diretta fornisce gratis anche un candidato ad essere il valore di \(D\): infatti, dato che la disuguaglianza triangolare è (in un certo senso) "sufficientemente precisa", è chiaro che puoi prendere, in prima battuta, come valore plausibile per \(D\) quello che ti esce applicando la disuguaglianza triangolare (questo è un educated guess) così da rispondere al punto 2.a. Infine ti rimane il compito 2.b, ossia il compito di dimostrare che il valore "indovinato" al punto 2.a è proprio quello giusto oppure che non lo è: ciò si fa o usando direttamente la definizione o le proprietà caratteristiche dell'estremo superiore, oppure con altri metodi che possono essere diversi caso per caso (a seconda di ciò che si ha davanti agli occhi e sotto mano).

Vediamo come applicare questo ragionamento al tuo caso.

Dato che \(x,y\in B(x_0;r)\), per definizione essi soddisfano \(d(x,x_0) \[
d(x,y)\leq d(x,x_0)+d(x_0,y) = d(x,x_0)+d(y,x_0) \]
perciò:
\[
D=\sup_{x,y\in B(x_0;r)} d(x,y) \leq 2r<\infty
\]
sicché \(D\) è finito e non supera il valore \(2r\).
Ciò accomoda il punto I e ci fa saltare al punto 2.a, cioé a trovare un valore plausibile per \(D\). Come detto sopra, "indovianiamo" che il valore plausibile sia proprio \(2r\) ed andiamo a verificare, usando le proprietà caratteristiche dell'estremo superiore, che tale valore è proprio quello che cercavamo.
Innanzitutto, il numero \(2r\) è un maggiorante di \(d(x,y)\) per \(x,y\in B(x_0;r)\); quindi siamo a posto con la prima proprietà dell'estremo superiore.
Ci rimane da verificare che \(2r\) goda pure della seconda proprietà dell'estemo superiore, cioé che ogni numero minore di \(2r\) non è un maggiorante dell'insieme \(\{ d(x,y),\ x,y\in B(x_0;r)\}\); in formule dobbiamo verificare (o confutare) che:
\[
\tag{S}
\forall \varepsilon >0,\ \exists x_\varepsilon ,y_\varepsilon \in B(x_0;r):\ d(x_\varepsilon ,y_\varepsilon)>2r-\varepsilon
\]
(qui, ovviamente, possiamo senz'altro considerare i soli \(\varepsilon <2r\), perché \(d(\cdot ,\cdot) \geq 0\)).

Lasciamoci guidare dall'intuito e dall'analogia.[nota]Il ragionamento per analogia è una delle armi più potenti per il matematico, ma anche una delle più pericolose... Quindi va usata in maniera sensata. [/nota]
Nel caso bidimensionale, per ottenere due punti che distano tra loro più di \(2r-\varepsilon\) basta muoversi su una corda diametrale del cerchio (quindi rimanendo dentro al cerchio!) e prendere \(x_\varepsilon\) "sufficientemente vicino" alla circonferenza da un lato e \(y_\varepsilon\) "sufficientemente vicino" alla circonferenza dal lato opposto ad \(x_\varepsilon\).
[asvg]xmin=-1;xmax=1; ymin=-1;ymax=1;
noaxes();
stroke="grey"; line([0.866,0.5],[-0.866,-0.5]);
stroke="black";
dot([0,0]); text([0,0],"x0",below);
stroke="blue";
dot([0.8,0.462]); text([0.8,0.462],"xe",below);
dot([-0.8,-0.462]); text([-0.8,-0.462],"ye",below);
stroke="red"; circle([0,0],1);[/asvg]
Per fissare una corda diametrale "su cui muoverci" nella palla \(B(x_0;r)\) basta scegliere una direzione nello spazio e scrivere l'equazione della retta condotta per \(x_0\) avente quella tale direzione. Per semplificare le cose, prendiamo come direzione il versore \(\mathbf{e}_1\) del primo asse coordinato e scriviamo l'equazione parametrica della retta corrispondente:
\[
x(t) = x_0+t\ \mathbf{e}_1\; ,\quad t\in \mathbb{R}\; .
\]
Affinché il punto \(x(t)\) variabile sulla retta stia dentro la palla \(B(x_0;r)\) occorre e basta che \(d(x(t),x_0) \[
d(x(t),x_0) = |t|
\]
dunque la condizione \(x(t)\in B(x_0;r)\) equivale a richiedere che \(|t| \[
x(t) = x_0+t\ \mathbf{e}_1\; ,\quad t\in ]-r,r[\; .
\]
Prendiamo ora due punti a caso su questa corda, \(x(t_1)\) ed \(x(t_2)\), e calcoliamone la distanza:
\[
d(x(t_1),x(t_2)) = \sqrt{(t_1-t_2)^2} = |t_1-t_2|\; ;
\]
tale distanza è molto semplice, come potevamo aspettarci (perché stiamo riducendo un problema \(N\)-dimensionale ad un problema monodimensionale, restringendo tutte le nostre considerazioni ad una corda diametrale), perciò dovrebbe essere molto semplice trovare \(x_\varepsilon=x(t_{\varepsilon ,1})\) ed \(y_\varepsilon=x(t_{\varepsilon ,2})\) sulla nostra corda diametrale che distano più di \(2r-\varepsilon\). Infatti, fissato un valore \(0<\varepsilon<2r\), se vogliamo che \(d(x_\varepsilon , y_\varepsilon)>2r-\varepsilon\) occorre e basta che:
\[
|t_{\varepsilon ,1}-t_{\varepsilon, 2}|>2r-\varepsilon\; ;
\]
supponendo \(t_{\varepsilon ,1}>t_{\varepsilon, 2}\), la precedente diviene:
\[
t_{\varepsilon ,1}-t_{\varepsilon, 2}>2r-\varepsilon
\]
ed è soddisfatta, ad esempio, prendendo \(t_{\varepsilon ,1} = r-\frac{\varepsilon}{3}\) e \(t_{\varepsilon ,2} = -r +\frac{\varepsilon}{3}\) i quali appartengono evidentemente all'intervallo \(]-r,r[\) in cui varia il parametro \(t\) nel descrivere la corda diametrale.
Pertanto abbiamo trovato:
\[
\begin{split}
x_\varepsilon &= x(r-\tfrac{\varepsilon}{3}) = x_0 + (r-\tfrac{\varepsilon}{3})\ \mathbf{e}_1\\
y_\varepsilon &= x(-r+\tfrac{\varepsilon}{3}) = x_0 + (-r+\tfrac{\varepsilon}{3})\ \mathbf{e}_1
\end{split}
\]
sulla corda diametrale della palla \(B(x_0;r)\) tali che \(d(x_\varepsilon ,y_\varepsilon)>2r-\varepsilon\).
Visto che la scelta di \(\varepsilon\) era arbitraria, lo stesso discorso si può fare per ogni \(\varepsilon \in ]0,2r[\), quindi la (S) è certamente soddisfatta.
Da ciò segue immediatamente che:
\[
D:= \sup_{x,y \in B(x_0;r)} d(x,y)=2r
\]
come volevamo.

[miry93-thebest]

ok per la palla ! e se volessi calcolare il diametro della retta??? come faccio a dimostrare che è infinito???? ok, devo applicare la disuguaglianza inversa, ma in che modo???? ti ringrazio !!!!!!

[gio73]

[xdom="gio73"]Chiudo, la ragione è esposta qui[/xdom]