Diagramma qualitativo soluzioni equazione differenziale
Ditemi se sono giusti i passaggi per lo studio qualitativo di $t^3y'-2y=t^4$.
Pongo $f(t,y)=(2y+t^4)/t^3$. La funzione $f in C^1(R-{0},R)$ allora esiste ed è unica $\varphi(t)$ soluzione locale del (PC) associato all'equazione differenziale.(posso dire che $t=0$ è asintoto verticale per le soluzioni?)
parità: $\varphi(t)=\varphi(-t)$, chiamo $\psi(t)=\varphi(-t)$ e ottengo $\psi'(t)=-\varphi'(-t)=- (2varphi(-t)+t^4)/(-t)^3=(2\psi(t)+t^4)/(t^3)$. Quindi $\psi$ è soluzione dell'equazione e per unicità $\psi=\varphi$, vale la parità.
soluzioni stazionarie: non esistono
punti stazionari : (qui ho un dubbio) sono i punti ${(t,y): y=-t^4/2}$?
segno di $y'$: le soluzioni sono crescenti nelle regioni ${(t,y): t>0, y> -t^4/2}$ e ${(t,y): t>0, y<-t^4/2}$
posso dire altro?
Pongo $f(t,y)=(2y+t^4)/t^3$. La funzione $f in C^1(R-{0},R)$ allora esiste ed è unica $\varphi(t)$ soluzione locale del (PC) associato all'equazione differenziale.(posso dire che $t=0$ è asintoto verticale per le soluzioni?)
parità: $\varphi(t)=\varphi(-t)$, chiamo $\psi(t)=\varphi(-t)$ e ottengo $\psi'(t)=-\varphi'(-t)=- (2varphi(-t)+t^4)/(-t)^3=(2\psi(t)+t^4)/(t^3)$. Quindi $\psi$ è soluzione dell'equazione e per unicità $\psi=\varphi$, vale la parità.
soluzioni stazionarie: non esistono
punti stazionari : (qui ho un dubbio) sono i punti ${(t,y): y=-t^4/2}$?
segno di $y'$: le soluzioni sono crescenti nelle regioni ${(t,y): t>0, y> -t^4/2}$ e ${(t,y): t>0, y<-t^4/2}$
posso dire altro?
Risposte
$t^3y'(t)-2y(t)=t^4$
$=>y'(t)-2/(t^3)y(t)=t$
dove
$f(t)=t$
e
$A(t)=int a(t)dt= -2 int t^(-3) dt = t^(-2)$ (a meno della costante arbitraria)
Impiegando la nota formula risolutiva $y(t)=e^(-A(t))(c+int f(t)e^(A(t))dt)$
si ottiene:
$y(t)=e^(-t^(-2))(c+int t cdot e^(t^(-2))dt)$
dove però questo integrale non lo risolvi con metodi elementari...
$=>y'(t)-2/(t^3)y(t)=t$
dove
$f(t)=t$
e
$A(t)=int a(t)dt= -2 int t^(-3) dt = t^(-2)$ (a meno della costante arbitraria)
Impiegando la nota formula risolutiva $y(t)=e^(-A(t))(c+int f(t)e^(A(t))dt)$
si ottiene:
$y(t)=e^(-t^(-2))(c+int t cdot e^(t^(-2))dt)$
dove però questo integrale non lo risolvi con metodi elementari...
ma lo studio è giusto o ci sono errori?
Perché \(t = 0\) dovrebbe essere asintoto?
Fa' vedere qualche conto per il segno.
Fa' vedere qualche conto per il segno.
in $t=0$ non è definita $y'$; posso dire $lim_(t->0) t^2y'-2y-t^4=0$ per $y->0$ e quindi $t=0$ non è asintoto verticale?
i punti $(t,-t^4/2), t>0$ sono punti di minimo per le soluzioni?
i punti $(t,-t^4/2), t>0$ sono punti di minimo per le soluzioni?
"gbspeedy":
in $t=0$ non è definita $y'$; posso dire $lim_(t->0) t^2y'-2y-t^4=0$ per $y->0$ e quindi $t=0$ non è asintoto verticale?
Questa cosa non ha alcun senso
"gbspeedy":
i punti $(t,-t^4/2), t>0$ sono punti di minimo per le soluzioni?
Again: conti!!
$y'>0$ per $y> -t^4/2 \wedge t>0$ oppure $y<-t^4/2 \wedge t<0$ quindi i punti sulla parabola sono massimi e minimi per le soluzioni?
Questa cosa non ha alcun senso
mi sono spiegato male: $y'$ non è definita nei punti $(0,\xi), \xi in R$ ma la soluzione potrebbe esistere in quei punti.Per verificarlo controllo se $y(0)=\xi$ è soluzione dell'equazione differenziale? Gli asintoti verticali tra quali punti li devo cercare?
"Raptorista":[/quote]
[quote="gbspeedy"]in $t=0$ non è definita $y'$; posso dire $lim_(t->0) t^2y'-2y-t^4=0$ per $y->0$ e quindi $t=0$ non è asintoto verticale?
Questa cosa non ha alcun senso
mi sono spiegato male: $y'$ non è definita nei punti $(0,\xi), \xi in R$ ma la soluzione potrebbe esistere in quei punti.Per verificarlo controllo se $y(0)=\xi$ è soluzione dell'equazione differenziale? Gli asintoti verticali tra quali punti li devo cercare?
Così ad occhio direi di sì, ma ho come il sospetto di dimenticare qualcosa...
Per un asintoto verticale, probabilmente ti conviene cercare dove la derivata va a \(\pm \infty\).
Per un asintoto verticale, probabilmente ti conviene cercare dove la derivata va a \(\pm \infty\).
così se ho $(tlogt)y'-y-logt=0$ e voglio cercare gli asintoti:
1) per l'asintoto orizzontale: se $lim_(t->+oo) y=L$ allora $ lim_(t->+oo) y'= lim_(t->+oo) (L+logt)/(tlogt)=0, AAL$
2) per l'asintoto obliquo : se $lim_(t->+oo) y=+-oo$ allora $lim_(t->+oo) (y+logt)/(tlogt)$ dovrebbe esistere finito non nullo ma è impossibile
3) per l'asintoto verticale : come hai suggerito dovrebbe essere se $lim_(t->x_o) y=+-oo$ allora $lim_(t->x_0) (y+logt)/(tlogt)=oo$.Questo si verifica per $x_0=0$ e $x_0=1$
ok?
1) per l'asintoto orizzontale: se $lim_(t->+oo) y=L$ allora $ lim_(t->+oo) y'= lim_(t->+oo) (L+logt)/(tlogt)=0, AAL$
2) per l'asintoto obliquo : se $lim_(t->+oo) y=+-oo$ allora $lim_(t->+oo) (y+logt)/(tlogt)$ dovrebbe esistere finito non nullo ma è impossibile
3) per l'asintoto verticale : come hai suggerito dovrebbe essere se $lim_(t->x_o) y=+-oo$ allora $lim_(t->x_0) (y+logt)/(tlogt)=oo$.Questo si verifica per $x_0=0$ e $x_0=1$
ok?
La 1) mi sembra ok.
La 2) è falsa: dipende da come \(y \to \infty\)!
La 3) sembrerebbe ragionevole.
La 2) è falsa: dipende da come \(y \to \infty\)!
La 3) sembrerebbe ragionevole.
1) nel primo caso ogni soluzione $y(t)$ ha asintoto orizzontale dato che l'ho trovato $AA L$?
2) come faccio a determinarlo se non conosco $y(t)$?
2) come faccio a determinarlo se non conosco $y(t)$?
Ti ricordo che devi comunque dimostrare che \(y\) ha limite finito o infinito, prima.
Se non conosci \(y\), non puoi!
Se non conosci \(y\), non puoi!
ok. ultima cosa: se ho $y'=(1-y^2)/(t-1)^2$. Se $lim_(t->+oo) y(t)=L$ allora $ lim_(t->+oo) (1-L^2)/(t-1)^2=0, AAL$. Quindi non sono asintoti orizzontali solo $y=+-1$?
??? :S
Se \(y = \pm 1\) è una soluzione costante, c'è un asintoto banale.
Se \(y = \pm 1\) è una soluzione costante, c'è un asintoto banale.
ma ci sono altri asintoti orizzontali oltre alle soluzioni costanti?
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