Di nuovo Limite con taylor
Salve a tutti. Ancora intento a preparare analisi uno, mi è venuto un dubbio su un altro limite da studiare.
Il limite in questione è il seguente:
$lim_(n -> +oo) (cos(2/n) + e^(-2/n^2))/(arctan (4/n) + 5/n^2)^4 $
Cambio di variabile: x=1/n
$lim_(x -> o^+) (cos(2x) + e^(-2x^2))/(arctan (4x) + 5x^2)^4 $
Seguendo taylor al numeratore
$cos(x) = 1 - ((2x)^2)/2 + ((2x)^4)/24 $
$e^-2x^2 = 1 - 2x^2 + ((2x^2)^2)/2 $
$lim_(x -> o^+) (1 - ((2x)^2)/2 + ((2x)^4)/24 + 1 - 2x^2 + ((2x^2)^2)/2)/(arctan (4x) + 5x^2)^4 $
Con i dovuti calcoli
$lim_(x -> o^+) ( (-4/3 x^4)/(arctan (4x) + 5x^2)^4 $
Non so che pesci prendere per il denominatore, l'unica idea sensata che ho avuto è scrivere
Arctan (4x) = 4x + o (x^2)
quindi trattando 5x^2 come o piccolo, me lo levo dalle scatole, poi elevo alla quarta e semplifico con sopra. E' sbagliato?
Aggiungo in ultimo, qualcuno di voi sa per caso aiutarmi, trovandomi qualche buon sito dove trovare materiale per esercitarmi CON le soluzioni?
Grazie in anticipo
Il limite in questione è il seguente:
$lim_(n -> +oo) (cos(2/n) + e^(-2/n^2))/(arctan (4/n) + 5/n^2)^4 $
Cambio di variabile: x=1/n
$lim_(x -> o^+) (cos(2x) + e^(-2x^2))/(arctan (4x) + 5x^2)^4 $
Seguendo taylor al numeratore
$cos(x) = 1 - ((2x)^2)/2 + ((2x)^4)/24 $
$e^-2x^2 = 1 - 2x^2 + ((2x^2)^2)/2 $
$lim_(x -> o^+) (1 - ((2x)^2)/2 + ((2x)^4)/24 + 1 - 2x^2 + ((2x^2)^2)/2)/(arctan (4x) + 5x^2)^4 $
Con i dovuti calcoli
$lim_(x -> o^+) ( (-4/3 x^4)/(arctan (4x) + 5x^2)^4 $
Non so che pesci prendere per il denominatore, l'unica idea sensata che ho avuto è scrivere
Arctan (4x) = 4x + o (x^2)
quindi trattando 5x^2 come o piccolo, me lo levo dalle scatole, poi elevo alla quarta e semplifico con sopra. E' sbagliato?
Aggiungo in ultimo, qualcuno di voi sa per caso aiutarmi, trovandomi qualche buon sito dove trovare materiale per esercitarmi CON le soluzioni?
Grazie in anticipo
Risposte
Bè anche l'Arcotangente ha la formula di taylor =) quindi se la usi risolvi ^^
Grazie della risposta 
Quindi se, come ho scritto sopra, sviluppo
$arctan (4x) = 4x + o (x^2) $
Tanto 5x^2 -> 0 per x->0 quindi lo assorbo nell'o piccolo giusto?
E poi mi chiedevo, un limite del tipo
$ lim_(x -> π/3) (cos(6x) -1)/(2sin^2 (3x)) $
Per svolgerlo è sensato effettuare la sostituzione
$x=t + π/3$
in modo da avere lo stesso limite ma per t--> 0
E se faccio questa sostituzione, poi sviluppando con taylor il coseno le costanti devo portarle dietro?
Es: $cos (t + 2π) = 1 - ((t+2π)^2)/2! +o(x^3) $
Oppure è sbagliato così?
Grazie in anticipo e scusate tutti questi dubbi, ho dato il primo appello di analisi e sono sicuro di non averlo passato, le cose le so, e molte riesco a farle, ma poi mi riempo di dubbi e non riesco più a pensare, e vado in palla, come al primo esame.
Quindi se, come ho scritto sopra, sviluppo
$arctan (4x) = 4x + o (x^2) $
Tanto 5x^2 -> 0 per x->0 quindi lo assorbo nell'o piccolo giusto?
E poi mi chiedevo, un limite del tipo
$ lim_(x -> π/3) (cos(6x) -1)/(2sin^2 (3x)) $
Per svolgerlo è sensato effettuare la sostituzione
$x=t + π/3$
in modo da avere lo stesso limite ma per t--> 0
E se faccio questa sostituzione, poi sviluppando con taylor il coseno le costanti devo portarle dietro?
Es: $cos (t + 2π) = 1 - ((t+2π)^2)/2! +o(x^3) $
Oppure è sbagliato così?
Grazie in anticipo e scusate tutti questi dubbi, ho dato il primo appello di analisi e sono sicuro di non averlo passato, le cose le so, e molte riesco a farle, ma poi mi riempo di dubbi e non riesco più a pensare, e vado in palla, come al primo esame.
Scusate se uppo. Non so se si può fare. Vorrei che qualcuno mi aiutasse con il secondo limite, senza aprire un altro topic
Quando fai la sostituzione, prima ricalcola i valori delle funzioni seno e coseno. Quanto diventa $\cos(6(t+\pi/3))$? E $\sin(3(t+\pi/3))$?
"ciampax":
Quando fai la sostituzione, prima ricalcola i valori delle funzioni seno e coseno. Quanto diventa $\cos(6(t+\pi/3))$? E $\sin(3(t+\pi/3))$?
Si, scusa, ho scritto frettolosamente, tanto per far capire. Ma in linea di principio è giusto fare questa sostituzione e poi calcolare con taylor?
Verrebbe
$lim_(x->0) (cos(6t+2\pi))/(2sin^2(3t+\pi)$
Quindi posso svilupparla con taylor.
Altra domanda, se avessi applicato direttamente la formula di Taylor con centro in $\pi/3$, sarebbe stato lo stesso?
No che non puoi sviluppare con Taylor se usi quella forma! Guarda, accade questo:
[tex]$\cos(6t+2\pi)=\cos(6t),\qquad \sin(3t+\pi)=-\sin(3t)$[/tex]
E ora puoi applicare Taylor centrato in $t=0$.
Potresti ovviamente anche applicare Taylor centrato in $\pi/3$: la mia domanda è, come faresti?
[tex]$\cos(6t+2\pi)=\cos(6t),\qquad \sin(3t+\pi)=-\sin(3t)$[/tex]
E ora puoi applicare Taylor centrato in $t=0$.
Potresti ovviamente anche applicare Taylor centrato in $\pi/3$: la mia domanda è, come faresti?
"ciampax":
No che non puoi sviluppare con Taylor se usi quella forma! Guarda, accade questo:
[tex]$\cos(6t+2\pi)=\cos(6t),\qquad \sin(3t+\pi)=-\sin(3t)$[/tex]
E ora puoi applicare Taylor centrato in $t=0$.
Potresti ovviamente anche applicare Taylor centrato in $\pi/3$: la mia domanda è, come faresti?
No, hai ragione, sarebbe un bel casino... Credo che il mio problema principale fosse la mia incapacità con le funzioni trigonometriche, dovuta a uno scarso approccio negli anni di scuola superiore... Rappresentandolo graficamente avrei capito subito che $\cos(6t+2\pi)=\cos(6t)$ perchè $2\pi$ è un giro, in parole povere.
Grazie mille, inizierò a farne un po' guardandola sotto quest'ottica, sperando di prenderci dimistichezza... Il problema è sempre che in aula ci si esercita con esercizi elementari e di difficoltà media, poi sull'esame gli standard sono più alti.
Ti ringrazio di nuovo. Buona giornata
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