Di nuovo esempio su inclusioni differenziali urgente
Illustro di nuovo un esempio che avevo proposto tempo addietro riguardo alle inclusioni differenziali.
Premetto che per rispondere non serve alcuna nozione sulle inclusioni differenziali o equazioni differenziali ma è un semplice passaggio algebrico che non riesco a spiegarmi.
Purtroppo il libro di Filippov su cui sto studiando lascia molte cose come ovvie e io non riesco a capire tutti i passaggi.
Il problema è studiare il seguente sistema per $t \in [0,1]$.
$$\begin{cases} \dot{x} (t) = u^2 (t) - y^2 (t) \\ \dot{y} (t)=u (t) \end{cases} \qquad u(t) \in [-1,1]$$
Filippov crea una successione di soluzioni in $[0,1]$ con dato iniziale nullo, e dimostra che con una rapida variazione del parametro $u$ si può andare molto vicino al punto $(t=1,x=1,y=0)$ senza mai andare a toccarlo.
C'è una maggiorazione che non ho capito, potreste illuminarmi se ci riuscite?
Consideriamo le soluzioni $x_k(t)$, $y_k(t)$ con dato iniziale nullo.
Facciamo variare in questo modo il parametro $u$:
$$u=1 \quad \left(\dfrac{2i}{k} \leq t \leq \dfrac{2i+1}{k}\right)$$
$$u=-1 \quad \left(\dfrac{2i+1}{k} \leq t \leq \dfrac{2i+2}{k}\right)$$
con $i=0,1,2....$.
Quella che ora segue è la maggiorazione che non ho capito
Allora si ha che
$$0 \leq y_k(t) \leq \dfrac{1}{k} \qquad (perché?)$$
E da questo segue che (Queste due maggiorazioni seguono da quella precedente e le ho capite)
$$\dot{x}(t) \geq 1 - \dfrac{1}{k^2} \qquad x_k(1) \geq 1 - \dfrac{1}{k^2}.$$
Ho pensato che poiché
$$\dot{y}_k(t) = u(t)$$ allora sostituendo $u(t) = 1$ si otterrebbe che
$$\dot{y}_k(t) = 1.$$ E quindi otterrei integrando entrambi i membri che $y_k(t) = t.$
Quello che ora so è soltanto che in questo caso per aver scelto $u(t)=1$, allora $t \in [\frac{2i}{k},\frac{2i+1}{k}].$
Ma come ottengo che
$$0 \leq y_k(t) \leq \dfrac{1}{k} $$ ?
Allego l'esempio qui sotto
Premetto che per rispondere non serve alcuna nozione sulle inclusioni differenziali o equazioni differenziali ma è un semplice passaggio algebrico che non riesco a spiegarmi.
Purtroppo il libro di Filippov su cui sto studiando lascia molte cose come ovvie e io non riesco a capire tutti i passaggi.
Il problema è studiare il seguente sistema per $t \in [0,1]$.
$$\begin{cases} \dot{x} (t) = u^2 (t) - y^2 (t) \\ \dot{y} (t)=u (t) \end{cases} \qquad u(t) \in [-1,1]$$
Filippov crea una successione di soluzioni in $[0,1]$ con dato iniziale nullo, e dimostra che con una rapida variazione del parametro $u$ si può andare molto vicino al punto $(t=1,x=1,y=0)$ senza mai andare a toccarlo.
C'è una maggiorazione che non ho capito, potreste illuminarmi se ci riuscite?
Consideriamo le soluzioni $x_k(t)$, $y_k(t)$ con dato iniziale nullo.
Facciamo variare in questo modo il parametro $u$:
$$u=1 \quad \left(\dfrac{2i}{k} \leq t \leq \dfrac{2i+1}{k}\right)$$
$$u=-1 \quad \left(\dfrac{2i+1}{k} \leq t \leq \dfrac{2i+2}{k}\right)$$
con $i=0,1,2....$.
Quella che ora segue è la maggiorazione che non ho capito
Allora si ha che
$$0 \leq y_k(t) \leq \dfrac{1}{k} \qquad (perché?)$$
E da questo segue che (Queste due maggiorazioni seguono da quella precedente e le ho capite)
$$\dot{x}(t) \geq 1 - \dfrac{1}{k^2} \qquad x_k(1) \geq 1 - \dfrac{1}{k^2}.$$
Ho pensato che poiché
$$\dot{y}_k(t) = u(t)$$ allora sostituendo $u(t) = 1$ si otterrebbe che
$$\dot{y}_k(t) = 1.$$ E quindi otterrei integrando entrambi i membri che $y_k(t) = t.$
Quello che ora so è soltanto che in questo caso per aver scelto $u(t)=1$, allora $t \in [\frac{2i}{k},\frac{2i+1}{k}].$
Ma come ottengo che
$$0 \leq y_k(t) \leq \dfrac{1}{k} $$ ?
Allego l'esempio qui sotto
Risposte
Aggiusta le formule!
"Raptorista":
Aggiusta le formule!
In che senso?
Ora si vedono, non so perché prima no...
Per il tuo problema: la \(u\) è zero tranne in due pezzi in cui è costante. Quando la integri, la \(y\) prima cresce da \(0\) fino a quando integra tutto il pezzo positivo ed arriva al valore \(\frac 1 k\), poi inizia ad integrare il pezzo negativo e quindi diminuisce di valore e torna a zero.
Per il tuo problema: la \(u\) è zero tranne in due pezzi in cui è costante. Quando la integri, la \(y\) prima cresce da \(0\) fino a quando integra tutto il pezzo positivo ed arriva al valore \(\frac 1 k\), poi inizia ad integrare il pezzo negativo e quindi diminuisce di valore e torna a zero.
"Raptorista":
Ora si vedono, non so perché prima no...
Per il tuo problema: la \(u\) è zero tranne in due pezzi in cui è costante. Quando la integri, la \(y\) prima cresce da \(0\) fino a quando integra tutto il pezzo positivo ed arriva al valore \(\frac 1 k\), poi inizia ad integrare il pezzo negativo e quindi diminuisce di valore e torna a zero.
Hai ragione grazie non avevo pensato che quando $u = -1$ bisognasse tornare indietro e quindi mi veniva un valore sempre più grande. Grazie mille che mi hai aiutato a capire
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