Dettaglio su un integrale...
Non riesco a dimostrare un passaggio che dovrebbe essere ovvio..manifestando le mie lacune:
se ho $y in RR^n$
da $ int_(RR^n) (e^(-y*x)-1)dx=0 $ vorrei provare che $y=0$.
($*$ sta per il prodotto scalare euclideo su $RR^n$)
se ho $y in RR^n$
da $ int_(RR^n) (e^(-y*x)-1)dx=0 $ vorrei provare che $y=0$.
($*$ sta per il prodotto scalare euclideo su $RR^n$)
Risposte
ciao Biagio! buh io non sono molto bravo con questi integralazzi grossi, quindi te la butto là: se sviluppi in serie quella esponenziale? che succede? (Dovrebbe valere il teorema di integrazione per serie... almeno credo...)
(edit) mah... ho fatto due conti...non è che mi convinca molto sinceramente.
comunque l'idea è: sviluppiamo in serie, sparisce quell'1, abbiamo l'integrale di una serie (serie che non ci dovrebbe dare problemi di convergenza) e possiamo passare alla serie degli integrali; a questo punto ci inventiamo un sistema per dimostrare che la serie non può convergere a zero se $y!=0$. Però:
non lo so se si può integrare per serie anche su tutto $RR^n$;
se anche si potesse non sono sicuro che la cosa porti da qualche parte.
Purtroppo non mi viene in mente niente di meglio!
ciao!
(edit) mah... ho fatto due conti...non è che mi convinca molto sinceramente.
comunque l'idea è: sviluppiamo in serie, sparisce quell'1, abbiamo l'integrale di una serie (serie che non ci dovrebbe dare problemi di convergenza) e possiamo passare alla serie degli integrali; a questo punto ci inventiamo un sistema per dimostrare che la serie non può convergere a zero se $y!=0$. Però:
non lo so se si può integrare per serie anche su tutto $RR^n$;
se anche si potesse non sono sicuro che la cosa porti da qualche parte.
Purtroppo non mi viene in mente niente di meglio!
ciao!
Up!
Secondo me, se integri su tutto $RR^n$ in dx non escludi la n-pla fatta di soli zeri.
Dunque l'integrale è zero anche per $y != 0$
Dunque l'integrale è zero anche per $y != 0$
$int_(RR^n) (e^(-y*x)-1)dx=0 \ => \ e^(-y*x)-1=0$ quasi ovunque su $RR^n$ e quindi, visto che $e^(-y*x)-1$ è una funzione continua di $x$ su tutto $RR^n$, $e^(-y*x)-1=0$ $\forall x in RR^n$.
A questo punto il risultato segue banalmente dall'iniettività dell'esponenziale e dalle proprietà del prodotto scalare.
Torna?
A questo punto il risultato segue banalmente dall'iniettività dell'esponenziale e dalle proprietà del prodotto scalare.
Torna?
@amel: E perchè vale la prima implicazione?
Concordo con Amel, la soluzione dovrebbe essere proprio quella proposta da lui.
Per un fatto di Teoria dell'Integrazione Astratta.
Se $E$ è un misurabile di uno spazio di misura $(X,ccM, mu)$ e se $f:Xto RR$ è una funzione misurabile, allora $\int_Ef" d"mu=0 quad => quad f=0 " q.o. in " E " rispetto a " mu$.
In particolare l'implicazione vale se $X=RR^n$ è dotato della struttura di spazio misurabile con la misura $m$ di Lebesgue ed $E=X$.
"Gaal Dornick":
@amel: E perchè vale la prima implicazione?
Per un fatto di Teoria dell'Integrazione Astratta.
Se $E$ è un misurabile di uno spazio di misura $(X,ccM, mu)$ e se $f:Xto RR$ è una funzione misurabile, allora $\int_Ef" d"mu=0 quad => quad f=0 " q.o. in " E " rispetto a " mu$.
In particolare l'implicazione vale se $X=RR^n$ è dotato della struttura di spazio misurabile con la misura $m$ di Lebesgue ed $E=X$.
"Gugo82":
Per un fatto di Teoria dell'Integrazione Astratta.
Se $E$ è un misurabile di uno spazio di misura $(X,ccM, mu)$ e se $f:Xto RR$ è una funzione misurabile, allora $\int_Ef" d"mu=0 quad => quad f=0 " q.o. in " E " rispetto a " mu$.
In particolare l'implicazione vale se $X=RR^n$ è dotato della struttura di spazio misurabile con la misura $m$ di Lebesgue ed $E=X$.
Ma l'asserto non chiede almeno che ciò valga per ogni $E$ appartenente ad una $sigma$-algebra $G sube ccM$? (Non è falsa posta così?)
Boh... non è che me ne intenda molto di teoria dell'integrazione astratta.... chiedo scusa a Gaal Dornick, mi è venuto in mente di rispondergli senza troppa cognizione di causa.
L'implicazione che citi (Gugo) vale solo per funzioni positive; come sua conseguenza inoltre: se l'integrale è nullo su ogni misurabile, allora è zero q.o.
Nel nostro caso la funzione è positiva?
Come controesempio a quel che dite voi: la funzione seno su $RR$.
Nel nostro caso la funzione è positiva?
Come controesempio a quel che dite voi: la funzione seno su $RR$.
Confesso che all'inizio avevo pensato proprio quello che dici tu, sbagliando paurosamente...
Ho provato a pensare a qualcosa, ma non viene in mente nulla. Scusate ancora per aver messo confusione.
Ho provato a pensare a qualcosa, ma non viene in mente nulla. Scusate ancora per aver messo confusione.
In effetti mi sono lasciato trasportare un po' acriticamente... Come parziale scusante posso dire che ero appena tornato a casa dopo lo scritto di Fisica II. 
"amel":
Confesso che all'inizio avevo pensato proprio quello che dici tu, sbagliando paurosamente...
Ho provato a pensare a qualcosa, ma non viene in mente nulla. Scusate ancora per aver messo confusione.
Non capisco perchè il mio ragionamento non è stato presoin considerazione...
Se $x$ e $y$ sono due vettori di $RR^n$ è chiaro che se non escludi il vettore $x=0$ la funzione integranda è nulla qualunque sia $y$...
@Marco512
Non riesco a capire la tua idea.
Non riesco a capire la tua idea.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo