Determinazione massimi e minimi funzione a due variabili
Salve a tutti,
mi sono imbattuto in un esercizio in cui non capisco come procedere:
Data la funzione $ f(x,y)=(1/2)^(x^2+y^2-|y-x^2|+1) $
si determinino i massimi e minimi assoluti di f in $ T={(x,y)in mathbb(R^2) : |y|<= 1; -2<= x<= 0} $
Ora io procederei considerando prima i punti interni e poi i punti alla frontiera: il problema si pone proprio nella seconda parte del procedimento proprio perchè la condizione espressa in T non è né un'equazione né una disequazione e quindi non so proprio come trattarla.
Qualcuno mi darebbe una mano? Grazie mille a tutti.
mi sono imbattuto in un esercizio in cui non capisco come procedere:
Data la funzione $ f(x,y)=(1/2)^(x^2+y^2-|y-x^2|+1) $
si determinino i massimi e minimi assoluti di f in $ T={(x,y)in mathbb(R^2) : |y|<= 1; -2<= x<= 0} $
Ora io procederei considerando prima i punti interni e poi i punti alla frontiera: il problema si pone proprio nella seconda parte del procedimento proprio perchè la condizione espressa in T non è né un'equazione né una disequazione e quindi non so proprio come trattarla.
Qualcuno mi darebbe una mano? Grazie mille a tutti.
Risposte
Mi sembra che $T$ sia un rettangolo, dunque per studiarne la frontiera puoi parametrizzarne i quattro lati.
Lungo ciascuno dei lati, una delle due coordinate e' costante e dunque la funzione dipende da una sola variabile. Il problema si riduce dunque a studiare massimi e minimi di funzioni di una variabile.
Lungo ciascuno dei lati, una delle due coordinate e' costante e dunque la funzione dipende da una sola variabile. Il problema si riduce dunque a studiare massimi e minimi di funzioni di una variabile.
Si è un rettangolo, ma come faccio a parametrizzarli?
Non ho proprio idea su come procedere...
Non ho proprio idea su come procedere...
Parti scegliendo un lato e chiedendoti cosa è costante in ogni punto di quel lato.
Ad esempio, uno dei quattro lati è ${(x,y) \in RR^2 | y=1; -2<= x<=0}$.
Lungo questo lato la tua funzione vale $f(x,1)=(1/2)^(x^2-|1-x^2|+2)$ e $x$ varia nell'intervallo $[-2,0]$...
Gli altri si parametrizzano in modo analogo...ti è più chiaro?
Ad esempio, uno dei quattro lati è ${(x,y) \in RR^2 | y=1; -2<= x<=0}$.
Lungo questo lato la tua funzione vale $f(x,1)=(1/2)^(x^2-|1-x^2|+2)$ e $x$ varia nell'intervallo $[-2,0]$...
Gli altri si parametrizzano in modo analogo...ti è più chiaro?
Ahh si ho capito. E quindi una volta fatto questo per tutti i 4 lati, devo semplicemente trovare massimi e minimi delle 4 funzioni di una sola variabile che ottengo?
Esattamente 
Alla fine ti sarai ricavato vari candidati minimi e massimi lungo i 4 lati e sull'interno, ti rimarrà quindi da calcolare la funzione sui vari punti candidati per poi stabilire qual'è il massimo assoluto e qual'è il minimo assoluto per confronto
Alla fine ti sarai ricavato vari candidati minimi e massimi lungo i 4 lati e sull'interno, ti rimarrà quindi da calcolare la funzione sui vari punti candidati per poi stabilire qual'è il massimo assoluto e qual'è il minimo assoluto per confronto
Ok perfetto grazie mille!!
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