Determinazione espressione del ramo di curva

[Aliseo1]

Ciao a tutti, avrei bisogno di un vostro aiuto. Precisamente sapreste dirmi come si fa a determinare l'espressione del ramo di una curva?

Mi spiego meglio: si supponga di avere una parabola $y=ax^2+bx+c$ e sia $d$ un punto appartenente alla parabola. Come si determina l'espressione del ramo di curva che ha come punto di inizio il punto $d$?

Ringrazio in anticipo tutti quelli che vorranno aiutarmi

[Luca.Lussardi]

E' una qualunque parametrizzazione $x=x(t),y=y(t)$ analitica in un intorno del punto $d$. Non credo sia difficile trovarla visto che la curva è un grafico di un polinomio...

[Aliseo1]

Ti ringrazio Luca per avermi risposto. Ho fatto qualche ricerca su internet per capire come effettuare questa parametrizzazione, ma le mie conoscenze in tale campo sono pressoché nulle (non sono laureato in matematica) ecco perchè ti (vi) chiedo di aiutarmi!

Per esempio, ho una parabola del tipo $y=3x^2-4x+5$ e un punto $d$ di coordinate $(2,9)$. Come faccio a determinare l'espressione analitica del ramo di curva che parte dal punto di $d$, utilizzando le parametrizzazioni? Non so proprio come procedere perchè non ho le conoscenze

Grazie ancora per chi vorrà aiutarmi a risolvere questo problema

[Aliseo1]

come dovrei incominciare? anche a capire il ragionamento

[Luca.Lussardi]

Se non ho sbagliato i conti (controlla) dovrebbe essere $x=2+(t-2),y(t)=9+3(t-2)^2+8(t-2)$, ovvero $x$ e $y$ sono funzioni analitiche sviluppi in serie di potenze centrate in $t=2$, e per $t=2$ si ha il punto $d=(2,9)$. Scrivere $x$ in quel modo è ovvio; per trovare $y$ basta imporre $y(t)=3t^2-4t+5=9+a(t-2)^2+b(t-2)+c$, e determinare $a,b,c$.