Determinazione dominio di funzione

[Sk_Anonymous]

Salve a tutti! Ho delle difficoltà nella determinazione del campo di esistenza di questa funzione: $ f(x)=1+log(2*3^x-5*4^x) $
Per stabilire l'intevallo in cui la funzione assume valori bisogna porre l'argomento del logaritmo maggiore di zero e quindi risulta $ 2*3^x-5*4^x>0 $ . Come proseguo?

[Brancaleone1]

Ciao Root e benvenuto!
Prova a impiegare il logaritmo anche nella disequazione, portando prima $5*4^x$ al secondo membro.

[gio73]

proverei con il metodo grafico

$2*3^x-5*4^x>0$
$2*3^x>5*4^x$
$3^x>5/2 *4^x$

Traccerei il grafico di
$y=3^x$ e il grafico di $z=5/2 *4^x$
dove il primo è sopra il secondo l'argomento del logaritmo è positivo.
Le due funzioni si intersecano in un solo punto nel II quadrante, la prima funzione sta sopra la seconda tra$(-oo; x_0)$, dove $x_0$ è l'ascissa del punto intersezione. Facendo un paio di tentativi trovo che $-4
Ciao Branca, scrivevo mentre avevi già risposto tu.

[Sk_Anonymous]

"Brancaleone":Ciao Root e benvenuto!
Prova a impiegare il logaritmo anche nella disequazione, portando prima $5*4^x$ al secondo membro.

Grazie Brancaleone! Ho già provato ad effettuare questo passaggio portando $5*4^x$ al secondo membro ma non riesco a capire poi come applicare il logaritmo per riuscire ad averne la base uguale a $ 4/5 $ alla disequazione $ 2*3^x>5*4^x $. Hai qualche diritta da darmi?

[Shocker1]

"Root":[quote="Brancaleone"]Ciao Root e benvenuto!
Prova a impiegare il logaritmo anche nella disequazione, portando prima $5*4^x$ al secondo membro.

Grazie Brancaleone! Ho già provato ad effettuare questo passaggio portando $5*4^x$ al secondo membro ma non riesco a capire poi come applicare il logaritmo per riuscire ad averne la base uguale a $ 4/5 $ alla disequazione $ 2*3^x>5*4^x $. Hai qualche diritta da darmi?[/quote]
Ciao , potresti dividere tutto per $4^x$.
$ 2*3^x>5*4^x $
$ 2*(3^x/4^x)>5 $
$ 2*(3/4)^x>5 $

[Brancaleone1]

Se applichi il logaritmo naturale (non capisco il pezzo "per riuscire ad averne la base uguale a $4/5$") ti ritrovi

$ln(2*3^x)>ln(5*4^x)$

che equivale a

$ln(2*e^ln(3^x))>ln(5*e^ln(4^x))$

che per le proprietà del logaritmo equivale a sua volta a

$ln(2*e^(xln(3)))>ln(5*e^(xln(4)))$

Se ora semplifichi l'esponenziale...

Ciao gio! Avevo pensato anche a quella strada, ma non sono un amante del metodo grafico

[Sk_Anonymous]

La soluzione che mi propone l'esercizio è \( x>log(4/5,2/3) \) e seguendo i vari passaggi proposti non riesco a venirne a capo...

[Brancaleone1]

"Root":La soluzione che mi propone l'esercizio è \( x>log(4/5,2/3) \)[...]

Non capisco...

EDIT: Ah intendevi la base: $x>log_(4/5)(2/3)$ ... però non mi torna...

[Sk_Anonymous]

Esatto! Neanche a me torna dopo i vari suggerimenti. Probabile ci sia stato un errore nello svolgimento con conseguente risultato errato?

[Andrea571]

$2*3^x>5*4^x$

$2*3^x/(4^x)>5$

$(3/4)^x>5/2$

$e^(x*ln(3/4))>e^(ln(5/2))$

$xln(3/4)>ln(5/2)$

$x>ln(5/2)/(ln(3/4))$

$x>ln_(3/4)(5/2)$

Il mio risultato è questo, ma non sembra comunque quello del libro...

[Brancaleone1]

Quel che è certo è che il risultato non è quello lì. A te quanto viene?

[Shocker1]

"Andrea57":$2*3^x>5*4^x$

$2*3^x/(4^x)>5$

$(3/4)^x>5/2$

$e^(x*ln(3/4))>e^(ln(5/2))$

$xln(3/4)>ln(5/2)$

$x>ln(5/2)/(ln(3/4))$

$x>ln_(3/4)(5/2)$

Il mio risultato è questo, ma non sembra comunque quello del libro...

Attenzione che $ln(3/4)$ è un numero negativo, quindi il verso della disequazione cambia.

Che testo usi @Root?

[Zero87]

Mi ci metto anch'io ( ): avrei diviso per $3^x$ invece di $4^x$ per avere la base del logaritmo $>1$ ed evitare guai di questo tipo
$2/5>(4/3)^x$

Dunque
$e^(log(2/5))>e^(x log(4/3))$
ovvero
$log(2/5)>x log(4/3)$
dunque
$x < \frac{log(2/5)}{log(4/3)}=log_(4/3) 2/5$.

Senza problemi di segno.

[Sk_Anonymous]

"Shocker":

Che testo usi @Root?

L'esercizio non è preso da un testo ma da un plico di esercizi, con relative soluzioni, del prof...

[gio73]

@root: non è necessario quotare l'intero messaggio. Cancella le parti che non ti interessano e lascia solo la frase a cui rispondi. Prova a modificare il tuo precedente posto utilizzando il tasto modifica in alto a destra.

[gio73]

"Zero87":
$log_(4/3) 2/5$.

Ho provato a vedere dove ci troviamo più o meno
ho svolto i calcoli e $log_(4/3) 2/5$ è circa uguale a $-3,17$

[Zero87]

Attenzione: chi non ha un minimo di follia salti questo post.

"Root":Salve a tutti! Ho delle difficoltà nella determinazione del campo di esistenza di questa funzione: $ f(x)=1+log(2*3^x-5*4^x)$

Bene, è ora di usare le maniere forti.

Allora
$4=3^(log_3 4)$
per definizione stessa della funzione logaritmo come l'esponente da dare a 3 per avere 4.

Inoltre
$4^x= (3^(log_3 4))^x$
ma poiché vale $(a^x)^y=a^(xy)=(a^y)^x$, allora
$4^x=(3^x)^(log_3 4)$

Ponendo $3^x=t$ la nostra condizione è
$2t-5t^(log_3 4)>0$
che, raccogliendo $t$ diventa
$t(2-5t^(log_3 4 -1))>0$ (*)

Una soluzione è $t>0$ e ce la teniamo a mente: so che $t$ è "nato" da un esponenziale sempre positivo, ma teniamocelo a mente comunque.

Passiamo all'altra disequazione.
Analizziamo
$2-5t^(log_3 4 -1)>0$
cioè $t^(log_3 4 -1)<2/5$.

Possiamo logaritmare ambo i membri e scelgo come base $4/5$ poiché il libro di Root dà un risultato in base $4/5$: dal momento che, come root, ha i privilegi (dopo la seconda anteprima inizio a pensare che sia una battuta piuttosto scema )... allora scelgo quella base anche io.

$log_(4/5) (...) < log_(4/5) 2/5$
ovvero
$(log_3 4-1) log_(4/5) t < log_(4/5) 2/5$.

Fino a qui ci siamo, non ci sono tanti patemi mentali. Noto che $log_3 4-1<0$ e, se divido ambo i membri per questa quantità, cambio verso a tutto.

$log_(4/5) t > \frac{log_(4/5) 2/5}{log_3 4 -1}$
Posso, dunque, esponenziare ambo i membri - ricambiando di nuovo verso perché la base dell'esponenziale è $<1$ -, cioè
$(4/5)^(log(4/5) t)< (4/5)^(...)$
ovvero
$t<(4/5)^(...)$.

Vorrei scrivere quella quantità un pochetto meglio sfruttando delle proprietà delle potenze - tipo $a^(x/y)=\root{y}{a^x}$ o, comunque, $a^(x/y)= (a^x)^(1/y)$ -, sarebbe
$(4/5)^(\frac{log_(4/5) 2/5}{log_3 4 -1})=(2/5)^(1/(log_3 4 -1))$
Quel numero, perché comunque è un numero - la radice logaritmoinbase3di4menounesima di $2/5$ - è ancora scritto "brutto" e voglio trovarne una forma migliore.
$log_3 4 -1= log_3 4-log_3 3= log_3 (4/3)$ che è già qualcosa. Vediamo di cambiare base.
$log_3 4/3 = \frac{log_(2/5) (4/3)}{log_(2/5) 3}$ da cui otteniamo, tornando all'esponente
$(2/5)^(frac{log_(2/5) 3}{log_(2/5) 4/3}$ e, dunque
$3^(1/(log_(2/5) 4/3))$.

$3$ è una base migliore, anche perché avevamo posto $3^x=t$.
Ripassando al $3$ e tenendo conto delle due soluzioni della disequazione (*), cioè
- $t>0$
- $t<...$ quella roba là.
Abbiamo, dunque, per la positività, $0
$3^x < 3^(1/(log_(2/5)(4/3))$
da cui, logaritmando in base $3$ ambo i membri
$x<1/(log_(2/5) (4/3))$.

Vogliamo passare in base $4/5$: prima l'ho già fatto ma non ha avuto molto senso, ora che ho la soluzione in mano sì. Considero solo il secondo membro perché voglio scriverlo in modo migliore.
$log_(2/5) 4/3 = \frac{log_(4/5) (4/3)}{log_(4/5) (2/5)}$
dunque il secondo membro lo scrivo come
$\frac{log_(4/5) (2/5)}{log_(4/5) (4/3)}= log_(4/3) (2/5)$.

Conclusione, trovo $x che è la stessa soluzione trovata prima da me e confermata anche da gio73 ma senz'altro diversa da quella del libro nonostante io abbia provato a fare tutti i giri dell'orto del mondo. Essendo in tanti che abbiamo questa soluzione... errore del libro?

[Shocker1]

"Zero87":

[...]

Possiamo logaritmare ambo i membri e scelgo come base $4/5$ poiché il libro di Root dà un risultato in base $4/5$: dal momento che, come root, ha i privilegi (dopo la seconda anteprima inizio a pensare che sia una battuta piuttosto scema )... allora scelgo quella base anche io.

[...]

A me ha fatto ridere

che è la stessa soluzione trovata prima da me e confermata anche da gio73 ma senz'altro diversa da quella del libro nonostante io abbia provato a fare tutti i giri dell'orto del mondo. Essendo in tanti che abbiamo questa soluzione... errore del libro?

Sì è un errore del libro, anche wolfram la pensa così

[gio73]

"Brancaleone":
EDIT: Ah intendevi la base: $x>log_(4/5)(2/3)$ ... però non mi torna...

facendo due conti con la soluzione del libro viene x quasi uguale a 2 e direi che se proviamo a sostituire 2 a x l'argomento del logaritmo viene quite negativo...

$ f(x)=1+log(2*3^x-5*4^x) =1+log(2*9-5*16)=1+log(18-80)$

[Sk_Anonymous]

"Zero87":Conclusione, trovo $x che è la stessa soluzione trovata prima da me e confermata anche da gio73 ma senz'altro diversa da quella del libro nonostante io abbia provato a fare tutti i giri dell'orto del mondo. Essendo in tanti che abbiamo questa soluzione... errore del libro?

Ragazzi, ho appurato che la soluzione del plico di esercizi del prof risulta errato! La soluzione giusta è proprio $x
Siete stati grandiosi!

"Zero87":Attenzione: chi non ha un minimo di follia salti questo post.

WIN!!

[gio73]

"Root": Dopo tutti questi post mi è più chiaro anche il procedimento, dopo aver perso quasi due giorni per tentare di ottenere (utilizzando tutti i modi possibili) la soluzione del plico.

Questo è l'importante!
Molto spesso gli errori si prestano a farci raggiungere una maggiore consapevolezza, mai considerarli un impiccio.