Determinazione del punto di massimo e minimo di una funzione.

[galles90]

Buonasera,
Trovare il massimo M e il minimo m assoluti della funzione \(\displaystyle xlogx \) nell'intervallo \(\displaystyle [\tfrac{1}{2},2]\).
Procedo nel seguente modo :

\(\displaystyle f'(x)=1+logx \)
\(\displaystyle f'(x)\ge 0 \leftrightarrow 1+logx \leftrightarrow logx\ge -1 \leftrightarrow x \ge \tfrac{1}{e} \)
ora, ho un punto di minimo in \(\displaystyle \tfrac{1}{e} \) corrispondente a \(\displaystyle -\tfrac{1}{e} \).
Mi chiedo nell'eventualità che miei passaggi siano corretti, il punto di minimo che mi ritrovo, non appartiene all'intervallo, quindi non deve essere considerato.
Invece sul mio libro, il risultato è proprio \(\displaystyle \tfrac{1}{e} \).
C'è qualcosa che non mi torna

[seb1]

Sì, \(e^{-1}<2^{-1}\), quindi \(\frac{1}{e}\) non sta nell'intervallo dato.

[galles90]

"seb":Sì, \( e^{-1}<2^{-1} \), quindi \( \frac{1}{e} \) non sta nell'intervallo dato.

Allora è un errore del libro ?

[sandroroma]

Ho notato che nell'intervallo assegnato la derivata della funzione è >0. Pertanto in quell'intervallo la funzione
è sempre crescente e di conseguenza prende il suo valore massimo in $x=2$ ed il minimo in $x=1/2$
Pertanto, secondo me, il valore minimo richiesto è $1/2log(1/2)=-1/2log2$

[donald_zeka]

Non ha importanza che sia crescente o meno, quando si vogliono trovare gli estremi in un dominio chiuso bisogna fare 3 cose:

1) vedere dove si annulla la derivata
2) vedere dove la funzione non è continua
3) vedere il valore della funzione agli estremi

Si calcolano i valori della funzione in ognuno di questi punti e si prende il massimo e minimo