Determinazione carattere di una serie
Salve a tutti! E' da un paio di ore che cerco di risolvere questo esercizio che, purtroppo, continuo a sbagliare 
.
L'esercizio consiste nel determinare il carattere della serie, quindi bisogna stabilire se la seguente serie converge oppure diverge.
$\sum_{k=1}^\infty (lnx)/(x^(3/2))$
Per risolverlo, mi sono riscritto la funzione come $(lnx)/(xsqrt(x))$ e ho cercato una funzione equivalentemente asintotica per applicare il criterio del confronto. La funzione che ho trovato è : $sqrt(x)$.
Successivamente ho risolto il limite del rapporto $lim_{x \to\infty}(sqrt(x)((lnx)/(xsqrt(x))))$. Il risultato che ottengo è 0.
Guardare il risultato del limite che ho ottenuto, più l'esponente della funzione equivalentemente asintotica; non mi porta da nessuna parte. Il motivo è che per le proprietà di questo criterio i valori ottenuti non mi dicono niente:
(sia l = risultato del limite e p=esponente/grado funzione equivalentemente asintotica)
-se $l !=\infty $ e p > 1 ---> la successione è convergente
-se $l !=0$ e $p<=1 $ ---> la successione è divergente.
Spero che qualcuno sia così gentile da aiutarmi e dirmi dove sto sbagliando ... anche perché confrontando il risultato con wolframalpha la serie dovrebbe convergere (link)
------
scusate ma non riesco a capire perché non mi va ASCIIMatchML
.L'esercizio consiste nel determinare il carattere della serie, quindi bisogna stabilire se la seguente serie converge oppure diverge.
$\sum_{k=1}^\infty (lnx)/(x^(3/2))$
Per risolverlo, mi sono riscritto la funzione come $(lnx)/(xsqrt(x))$ e ho cercato una funzione equivalentemente asintotica per applicare il criterio del confronto. La funzione che ho trovato è : $sqrt(x)$.
Successivamente ho risolto il limite del rapporto $lim_{x \to\infty}(sqrt(x)((lnx)/(xsqrt(x))))$. Il risultato che ottengo è 0.
Guardare il risultato del limite che ho ottenuto, più l'esponente della funzione equivalentemente asintotica; non mi porta da nessuna parte. Il motivo è che per le proprietà di questo criterio i valori ottenuti non mi dicono niente:
(sia l = risultato del limite e p=esponente/grado funzione equivalentemente asintotica)
-se $l !=\infty $ e p > 1 ---> la successione è convergente
-se $l !=0$ e $p<=1 $ ---> la successione è divergente.
Spero che qualcuno sia così gentile da aiutarmi e dirmi dove sto sbagliando
... anche perché confrontando il risultato con wolframalpha la serie dovrebbe convergere (link)------
scusate ma non riesco a capire perché non mi va ASCIIMatchML
Risposte
"lordSigur":
Salve a tutti! E' da un paio di ore che cerco di risolvere questo esercizio che, purtroppo, continuo a sbagliare
L'esercizio consiste nel determinare il carattere della serie, quindi bisogna stabilire se la seguente serie converge oppure diverge.
$\sum_{k=1}^\infty (lnx)/(x^(3/2)) $
Per risolverlo, mi sono riscritto la funzione come $(lnx)/(xsqrt(x)) $ e ho cercato una funzione equivalentemente asintotica per applicare il criterio del confronto. La funzione che ho trovato è : $sqrt(x) $.
Successivamente ho risolto il limite del rapporto $lim_{x \to\infty}(sqrt(x)((lnx)/(xsqrt(x)))) $. Il risultato che ottengo è 0.
Guardare il risultato del limite che ho ottenuto, più l'esponente della funzione equivalentemente asintotica; non mi porta da nessuna parte. Il motivo è che per le proprietà di questo criterio i valori ottenuti non mi dicono niente:
(sia l = risultato del limite e p=esponente/grado funzione equivalentemente asintotica)
-se $l !=\infty $ e p > 1 ---> la successione è convergente
-se $l !=0 \$e $p<=1 $ ---> la successione è divergente.
Spero che qualcuno sia così gentile da aiutarmi e dirmi dove sto sbagliando
------
scusate ma non riesco a capire perché non mi va ASCIIMatchML
Il problema con ASCIIM è che non devi preporre "\" ai simboli di dollaro .
Per quanto riguarda l'esercizio: nel termine generale della serie non compare $k$. Hai sbagliato a riportare il testo, forse?
Per quanto riguarda l'esercizio: nel termine generale della serie non compare $k$. Hai sbagliato a riportare il testo, forse?
quella serie è scritta male credo ...in quanto ci sono troppe variabili 
forse è scritta correttamente cosi:
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln n}{n^{\frac{3}{2}}}
\end{align}
E' Una generalizzazione della serie armonica generalizzata:
$$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}, \,\,\,\,\alpha,\beta \in \mathbb{R}; $$
si dimostra, applicando ad esempio il criterio di condensazione di Cauchy
\begin{align*}
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}\stackrel{Cauchy}{\Longrightarrow}\sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{2^{n\alpha}\ln^{\beta}2^n}&=\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^{n\alpha-n}\left(n\ln2 \right)^{ \beta }}=\frac{1}{\ln^{ \beta }2 }\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^{n(\alpha-1)} n^{ \beta } }\\
&=\begin{cases} \mbox{per}\,\,\alpha>1\,\,\mbox{e}\,\,\forall\,\, \beta, & \mbox{Converge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1\,\,\mbox{e per }\,\, \beta>1, & \mbox{Converge }\\
\mbox{per}\,\,\alpha<1\,\,\mbox{e}\,\,\forall\,\, \beta, & \mbox{Diverge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1\,\,\mbox{e per }\,\, \beta\le1, & \mbox{Diverge }
\end{cases}
\end{align*}
forse è scritta correttamente cosi:\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln n}{n^{\frac{3}{2}}}
\end{align}
E' Una generalizzazione della serie armonica generalizzata:
$$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}, \,\,\,\,\alpha,\beta \in \mathbb{R}; $$
si dimostra, applicando ad esempio il criterio di condensazione di Cauchy
\begin{align*}
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}\stackrel{Cauchy}{\Longrightarrow}\sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{2^{n\alpha}\ln^{\beta}2^n}&=\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^{n\alpha-n}\left(n\ln2 \right)^{ \beta }}=\frac{1}{\ln^{ \beta }2 }\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^{n(\alpha-1)} n^{ \beta } }\\
&=\begin{cases} \mbox{per}\,\,\alpha>1\,\,\mbox{e}\,\,\forall\,\, \beta, & \mbox{Converge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1\,\,\mbox{e per }\,\, \beta>1, & \mbox{Converge }\\
\mbox{per}\,\,\alpha<1\,\,\mbox{e}\,\,\forall\,\, \beta, & \mbox{Diverge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1\,\,\mbox{e per }\,\, \beta\le1, & \mbox{Diverge }
\end{cases}
\end{align*}
Si l'ho scritta male. Come ha notato Noisemaker la corretta è
Riuppo e ri-chiedo aiuto, nonostante Noisemaker abbia dato una risposta giusta e conclusiva, perché trovo improbabile che l'esercizio venga svolto con quella generalizzazione se il docente ne l'ha presentata e ne viene riportata nel libro.
Spulciando nel web, ho trovato una dispensa che affronta il problema nella stessa maniera che l'ho affrontato io, cioè cercando una serie con cui fare il confronto oppure applicare il criterio degli infinitesimi.
In questa dispensa riporta che:
$log n = o(n^(1/3)), n->+\infty$
di conseguenza si ha che $log n/n^(3/2) = o(1/n^(7/6)) per n->+\infty$ applicando il criterio degli infinitesimi oppure quello del confronto i risultati portano che la serie converge.
Il procedimento mi è abbastanza chiaro, solo che non ho capito come abbia ricavato che $log n = o(n^(1/3)), n->+\infty$. Qualcuno sa come mai?
"Noisemaker":
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln n}{n^{\frac{3}{2}}}
\end{align}
Riuppo e ri-chiedo aiuto, nonostante Noisemaker abbia dato una risposta giusta e conclusiva, perché trovo improbabile che l'esercizio venga svolto con quella generalizzazione se il docente ne l'ha presentata e ne viene riportata nel libro.
Spulciando nel web, ho trovato una dispensa che affronta il problema nella stessa maniera che l'ho affrontato io, cioè cercando una serie con cui fare il confronto oppure applicare il criterio degli infinitesimi.
In questa dispensa riporta che:
$log n = o(n^(1/3)), n->+\infty$
di conseguenza si ha che $log n/n^(3/2) = o(1/n^(7/6)) per n->+\infty$ applicando il criterio degli infinitesimi oppure quello del confronto i risultati portano che la serie converge.
Il procedimento mi è abbastanza chiaro, solo che non ho capito come abbia ricavato che $log n = o(n^(1/3)), n->+\infty$. Qualcuno sa come mai?
"lordSigur":
Si l'ho scritta male. Come ha notato Noisemaker la corretta è
perché trovo improbabile che l'esercizio venga svolto con quella generalizzazione se il docente ne l'ha presentata e ne viene riportata nel libro.
ciò che è improbabile, è dire " il Prof non l'ha fatto $\Rightarrow$ io no devo saperlo", studiare cosi è un suicidio
(non solo intellettuale).ad ogni modo, essendo il logaritmo infinito di ordine inferiore a qualsiasi potenza, equivale a dire che $\ln n=o(n^{\alpha})$ quindi anche di $n^{1/3}$
Mi sono espresso un po male, anzi parecchio. Sono del tuo stesso parere, solo che volevo vedere come era possibile risolvere l'esercizio con uno dei metodi che sono stati trattati .
Ti ringrazio per tutte le risposte
. Ti ringrazio per tutte le risposte
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln n}{n^{\frac{3}{2}}}
\end{align}
\[ \lim_n \frac{\log(n)}{n^{3/2}} n^{3/2 - 1/3} = 0\]
dunque \[ \exists N : \forall n > N \text{ si ha } \frac{\log(n)}{n^{3/2}} n^{\frac{7}{6}} < 1\]
ovvero \[ \frac{\log(n)}{n^{3/2}} < \frac{1}{ n^{\frac{7}{6}} } \]
Allora il termine generale della serie è maggiorato definitivamente da \( \frac{1}{ n^{\frac{7}{6}} } \), che è il termine generale di una serie convergente.
Generalizzando questo svolgimento si individua (in parte) la casistica ricordata da Noisemaker.
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln n}{n^{\frac{3}{2}}}
\end{align}
\[ \lim_n \frac{\log(n)}{n^{3/2}} n^{3/2 - 1/3} = 0\]
dunque \[ \exists N : \forall n > N \text{ si ha } \frac{\log(n)}{n^{3/2}} n^{\frac{7}{6}} < 1\]
ovvero \[ \frac{\log(n)}{n^{3/2}} < \frac{1}{ n^{\frac{7}{6}} } \]
Allora il termine generale della serie è maggiorato definitivamente da \( \frac{1}{ n^{\frac{7}{6}} } \), che è il termine generale di una serie convergente.
Generalizzando questo svolgimento si individua (in parte) la casistica ricordata da Noisemaker.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo