Determinare valori reali di K
Come sempre questi sono i problemi in cui mi perdo sempre
$ lim_(x -> +infty) (1+(2/(3*x)))^(kx)=3 $
Come sempre grazie a tutti quelli che mi aiuteranno, non riesco mai a capire queste operazioni con i parametri.
$ lim_(x -> +infty) (1+(2/(3*x)))^(kx)=3 $
Come sempre grazie a tutti quelli che mi aiuteranno, non riesco mai a capire queste operazioni con i parametri.
Risposte
devi determinare il valore del parametro per cui quel limite faccia 3? e poi non si capisce che limite sia, prova ad imparare a scrivere le formule (al posto che mettere quello che hai scritto in "code" mettilo tra simbolo del dollaro).
provo a risolvere con il seguente limite: $lim_(x->+oo)(1+2/(3x))^(kx)$
riscrivo il limite come $e^((kx)log(1+2/(3x))) ~~ (2kx)/(3x) =2/3k$ quindi quanto deve valere k?
EDIT: Ho visto che hai modificato la formula!
provo a risolvere con il seguente limite: $lim_(x->+oo)(1+2/(3x))^(kx)$
riscrivo il limite come $e^((kx)log(1+2/(3x))) ~~ (2kx)/(3x) =2/3k$ quindi quanto deve valere k?
EDIT: Ho visto che hai modificato la formula!
sei sicuro la x non sia a denominatore?
"cooper":
devi determinare il valore del parametro per cui quel limite faccia 3? e poi non si capisce che limite sia, prova ad imparare a scrivere le formule (al posto che mettere quello che hai scritto in "code" mettilo tra simbolo del dollaro).
provo a risolvere con il seguente limite: $lim_(x->+oo)(1+2/(3x))^(kx)$
riscrivo il limite come $e^((kx)log(1+2/(3x))) ~~ (2kx)/(3x) =2/3k$ quindi quanto deve valere k?
EDIT: Ho visto che hai modificato la formula!
di niente finalmente ho capito come si scrivono
Comunque scusami ma non ho capito il procedimento da dove è uscito log e la "e"
tolto la "e" e il log non rimane (kx)*(1+2/3x)?
"cooper":
sei sicuro la x non sia a denominatore?
si infatti avevo scritto male ecco qua scusa
puoi riscrivere il limite in quel modo per la proprietà dei logaritmi: $b=a^(log_a b)$ (è proprio la definizione di logaritmo). in seguito ho usato la proprietà $log a^b = b loga$
per passare a ciò che c'è dopo $~~$ uso lo sviluppo asintotico di logaritmo prima ed esponenziale dopo
per passare a ciò che c'è dopo $~~$ uso lo sviluppo asintotico di logaritmo prima ed esponenziale dopo
"cooper":
puoi riscrivere il limite in quel modo per la proprietà dei logaritmi: $b=a^(log_a b)$ (è proprio la definizione di logaritmo). in seguito ho usato la proprietà $log a^b = b loga$
per passare a ciò che c'è dopo $~~$ uso lo sviluppo asintotico di logaritmo prima ed esponenziale dopo
infatti è quel passaggio che non ho capito da (kx)(1+2/3x)a 2kx/3x è qua che mi perdo, non dovrebbe riportare (kx+2kx/3x)?
scusami ma ho sbagliato. non come dici tu ma ho lavorato solo sull'esponente. ciò che ottieni è in realtà: $~~ e^(2/3k)$ ed è questo che deve essere 3. in pratica applichi lo sviluppo del logaritmo per x piccolo: $log(1+x)~~x$ e qui $x=2/(3x)$
"cooper":
scusami ma ho sbagliato. non come dici tu ma ho lavorato solo sull'esponente. ciò che ottieni è in realtà: $~~ e^(2/3k)$ ed è questo che deve essere 3. in pratica applichi lo sviluppo del logaritmo per x piccolo: $log(1+x)~~x$ e qui $x=2/(3x)$
tu dici di portarlo nell forma $ (1+1/x)^x $ ? così da sostituirlo con $ e $ ?
nono. usa proprio la definizione di logaritmo: è un trucco abbastanza usuale per i limiti.
$(1+2/(3x))^(kx)=e^(log_e((1+2/(3x))^(kx)))=e^(kxlog_e(1+2/(3x)))$
ora all'esponente riconosci lo sviluppo di Taylor al primo ordine del logaritmo (quello che ti ho scritto prima) e quindi applicandolo ottieni la forma che ti ho detto.
$(1+2/(3x))^(kx)=e^(log_e((1+2/(3x))^(kx)))=e^(kxlog_e(1+2/(3x)))$
ora all'esponente riconosci lo sviluppo di Taylor al primo ordine del logaritmo (quello che ti ho scritto prima) e quindi applicandolo ottieni la forma che ti ho detto.
"cooper":
nono. usa proprio la definizione di logaritmo: è un trucco abbastanza usuale per i limiti.
$(1+2/(3x))^(kx)=e^(log_e((1+2/(3x))^(kx)))=e^(kxlog_e(1+2/(3x)))$
ora all'esponente riconosci lo sviluppo di Taylor al primo ordine del logaritmo (quello che ti ho scritto prima) e quindi applicandolo ottieni la forma che ti ho detto.
allora il problema è qua perchè io non l'ho mai studiato lo sviluppo di Taylor ne adesso all'università ne alle superiori :s
Ciao Stizzens e cooper,
Scusate eh, ma basta semplicemente osservare che si ha:
$lim_{x \to +infty} (1+2/(3x))^(kx) = lim_{x \to +infty} (1+frac{1}{frac{3x}{2}})^(kx) = lim_{x \to +infty} [(1+frac{1}{frac{3x}{2}})^{frac{3x}{2}}]^{frac{2kx}{3x}} = e^{frac{2k}{3}} $
Affinché il risultato del limite proposto sia $3$ deve aversi
$ e^{frac{2k}{3}} = 3 \implies e^{frac{2k}{3}} = e^{ln 3} \implies 2k = 3 ln3 \implies k = frac{3 ln 3}{2}$
Scusate eh, ma basta semplicemente osservare che si ha:
$lim_{x \to +infty} (1+2/(3x))^(kx) = lim_{x \to +infty} (1+frac{1}{frac{3x}{2}})^(kx) = lim_{x \to +infty} [(1+frac{1}{frac{3x}{2}})^{frac{3x}{2}}]^{frac{2kx}{3x}} = e^{frac{2k}{3}} $
Affinché il risultato del limite proposto sia $3$ deve aversi
$ e^{frac{2k}{3}} = 3 \implies e^{frac{2k}{3}} = e^{ln 3} \implies 2k = 3 ln3 \implies k = frac{3 ln 3}{2}$
se non hai mai visto gli asintotici/Taylor, quello mi sembra allora il modo più veloce.
"pilloeffe":
Ciao Stizzens e cooper,
Scusate eh, ma basta semplicemente osservare che si ha:
$lim_{x \to +infty} (1+2/(3x))^(kx) = lim_{x \to +infty} (1+frac{1}{frac{3x}{2}})^(kx) = lim_{x \to +infty} [(1+frac{1}{frac{3x}{2}})^{frac{3x}{2}}]^{frac{2kx}{3x}} = e^{frac{2k}{3}} $
Affinché il risultato del limite proposto sia $3$ deve aversi
$ e^{frac{2k}{3}} = 3 \implies e^{frac{2k}{3}} = e^{ln 3} \implies 2k = 3 ln3 \implies k = frac{3 ln 3}{2}$
all' ultimo passaggio quando diventa $ e^(2k/3) $ dove finisce la x? non dovrebbe rimanere $ e^((2kx)/(3x)) $ ?
ma basta semplificarle no?
"cooper":
ma basta semplificarle no?
È vero hai ragione
Grazie mille per l'aiuto
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