Determinare una funzione derivabile tale che...
Nell'appello di ieri di analisi 1 c'era un esercizio che recitava:
Determinare una funzione $ f :]-infty,+infty[-{1} rarr cc(R) $ derivabile tale che
(1) $ f'(x)=(x^2-x+8)/(x^3+x^2+3x-5)$$ AA x in ]-infty,+infty[-{1} $
(2) $ f(0)=-3/2arctan(1/2), f(2sqrt(3)-1)=log(2sqrt(3)-2) $
Facendo l'ntegrale della $ f'(x) $ mi sono trovato le primitive, cioè
$ ln |x-1| -3/2arctan((x+1)/2)+C $
ora, essendo arrivato con il tempo al limite gli ho messo che una funzione derivabile era
$g(x)=ln |x-1| -3/2arctan((x+1)/2)$
facendo con più calma le cose, la $ f(0) $ risulta come detto nel punto (2), invece la $ f(2sqrt(3)-1)=ln|2sqrt(3)-2|-pi/2 $ ,cioè c'è un $ -pi/2 $ di troppo.
Ho sbagliato l'esercizio allora???
Determinare una funzione $ f :]-infty,+infty[-{1} rarr cc(R) $ derivabile tale che
(1) $ f'(x)=(x^2-x+8)/(x^3+x^2+3x-5)$$ AA x in ]-infty,+infty[-{1} $
(2) $ f(0)=-3/2arctan(1/2), f(2sqrt(3)-1)=log(2sqrt(3)-2) $
Facendo l'ntegrale della $ f'(x) $ mi sono trovato le primitive, cioè
$ ln |x-1| -3/2arctan((x+1)/2)+C $
ora, essendo arrivato con il tempo al limite gli ho messo che una funzione derivabile era
$g(x)=ln |x-1| -3/2arctan((x+1)/2)$
facendo con più calma le cose, la $ f(0) $ risulta come detto nel punto (2), invece la $ f(2sqrt(3)-1)=ln|2sqrt(3)-2|-pi/2 $ ,cioè c'è un $ -pi/2 $ di troppo.
Ho sbagliato l'esercizio allora???
Risposte
Ma hai verificato che la derivata di tale soluzione sia quella proposta?
"j18eos":
Ma hai verificato che la derivata di tale soluzione sia quella proposta?
si, la derivata è uguale a quella data, ma nel compito non l'ho fatta la verifica.
vedi bene che secondo me è sbagliato proprio l'integrale
"Feliciano":
vedi bene che secondo me è sbagliato proprio l'integrale
L'integrale è giusto. La mia TI-89 Titanium me ne ha appena dato conferma.
Ergo che la traccia sia errata visto che l'integrazione ti torna! 
Visto che in $x=1$ la funzione non è definita, ti basta trovare una primitiva in $(-\infty,1)$ soddisfacente la condizione in $0$ e
una primitiva in $(1,+\infty)$ soddisfacente la condizione in $2\sqrt{3}-1$.
una primitiva in $(1,+\infty)$ soddisfacente la condizione in $2\sqrt{3}-1$.
"j18eos":
Ergo che la traccia sia errata visto che l'integrazione ti torna!
Perchè sbagliata?
Alla fine con l'integrazione mi trovo le primitive, ed è normale che facendo la derivata del risultato ottenuto mi ritorni la funzione di partenza.
Secondo me rigel ha la soluzione esatta, ci vuole un pizzico di fantasia!
"j18eos":
Secondo me rigel ha la soluzione esatta, ci vuole un pizzico di fantasia!
Ma così mi sarei trovato 2 funzioni, mentre il professore ne voleva una.
Proprio qui è la fregatura dell'esercizio: siamo tutti convinti che la funzione soluzione sia [tex]$f(x)=\log|x-1|-\frac{3}{2}\arctan\bigg(\frac{x+1}{2}\bigg)+c$[/tex], invece, può essere [tex]$f(x)=\begin{cases}\log|x-1|-\frac{3}{2}\arctan\big(\frac{x+1}{2}\big)+c_1\iff x<1\\\log|x-1|-\frac{3}{2}\arctan\big(\frac{x+1}{2}\big)+c_2\iff x>1\end{cases}$[/tex] cosicché imponendo le condizioni si ottiene una funzione continua e derivabile ma non in [tex]$1$[/tex]; ed ovviamente si risolve l'esercizio.
@dissonance: Il link esatto è questo: https://www.matematicamente.it/forum/fun ... 54321.html (ci manca la "l" finale)!
OUT OF SELF @Fioravante Patrone: non fare troppo il napoletano con noi napoletani!
OUT OF SELF @Fioravante Patrone: non fare troppo il napoletano con noi napoletani!
"j18eos":
Proprio qui è la fregatura dell'esercizio: siamo tutti convinti che la funzione soluzione sia [tex]$f(x)=\log|x-1|-\frac{3}{2}\arctan\bigg(\frac{x+1}{2}\bigg)+c$[/tex], invece, può essere [tex]$f(x)=\begin{cases}\log|x-1|-\frac{3}{2}\arctan\big(\frac{x+1}{2}\big)+c_1\iff x<1\\\log|x-1|-\frac{3}{2}\arctan\big(\frac{x+1}{2}\big)+c_2\iff x>1\end{cases}$[/tex] cosicché imponendo le condizioni si ottiene una funzione continua e derivabile ma non in [tex]$1$[/tex]; ed ovviamente si risolve l'esercizio.
Se fosse così è non passo per una cavolata del genere, mi trovate impiccato...
@j18eos: Grazie.
@lucatrix: come risponderebbe una mia zia 
@dissonance: prego, di nulla!
meglio trovare impiccato il docente!L'importante è che non t'impicchi tu.
@dissonance: prego, di nulla!
Mi sa che l'esercizio era giusto visto che ho appena scoperto di essermi guadagnato l'orale! 
Piango...
Piango...
Complimenti... forza e coraggio! 
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