Determinare tutte le funzioni di un'equazione
Ciao a tutti.
Sul mio libro di Analisi è presente il seguente esercizio:
"Determinare tutte le funzioni g che soddisfano $g(x + y) + g(x - y) = 2x^{2} + 2y^{2}$"
La soluzione presente sul libro più o meno l'ho capita, però non riesco a capire il senso dell'esercizio, cioè qual'è l'obiettivo finale?
Grazie in anticipo!

Sul mio libro di Analisi è presente il seguente esercizio:
"Determinare tutte le funzioni g che soddisfano $g(x + y) + g(x - y) = 2x^{2} + 2y^{2}$"
La soluzione presente sul libro più o meno l'ho capita, però non riesco a capire il senso dell'esercizio, cioè qual'è l'obiettivo finale?
Grazie in anticipo!
Risposte
Mmh, in effetti non sembra un esercizio tipico di analisi. Sembra più un esercizio da contest matematico. Forse abbozzare la soluzione e, soprattutto, specificare il contesto in cui viene proposto questo esercizio può dare un'idea del perché venga proposto.
Questo esercizio è presente tra la lista di esercizi fornita dal professore di Analisi riguardo l'argomento "Insiemi, Relazioni e Funzioni". Il mio problema è che, detta molto semplicemente, non ne capisco il senso...
La soluzione proposta è la seguente:
"Sia $y=0$. Allora $2g(x) = 2x^2$, cioè, $g(x) = x^2$. Verifichiamo che $g(x) = x^2$ funziona. Si ha:
$g(x+y) + g(x-y) = (x+y)^2 + (x-y)^2$
$= x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2$
$= 2x^2 + 2y^2$".
Questa soluzione scritta così l'ho capita, ma non capisco a cosa serva l'esercizio e sulla base di quali criteri è stato risolto in questo modo.
La soluzione proposta è la seguente:
"Sia $y=0$. Allora $2g(x) = 2x^2$, cioè, $g(x) = x^2$. Verifichiamo che $g(x) = x^2$ funziona. Si ha:
$g(x+y) + g(x-y) = (x+y)^2 + (x-y)^2$
$= x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2$
$= 2x^2 + 2y^2$".
Questa soluzione scritta così l'ho capita, ma non capisco a cosa serva l'esercizio e sulla base di quali criteri è stato risolto in questo modo.

Sinceramente non saprei quale sia lo scopo di questo esercizio. Come ho detto prima sembra più un esercizio da contest che di analisi. Forse l'ha messo tra gli esercizi per proporre qualcosa di "diverso". Purtroppo per questo genere di esercizi non c'è un metodo di risoluzione standard, vanno visti caso per caso. In questo, in particolare, si è reso conto che quella funzione andava bene e poi l'ha verificato.
Se ti incuriosiscono questo genere di equazioni, cerca "equazioni funzionali" tra cui ci sono anche gli esempi classici di equazioni che producono l'esponenziale e il logaritmo come soluzioni. Partendo da queste equzioni particolari, a volte si possono trovare soluzioni per altre equazioni di questo tipo, ma credo siano veramente poche e, comunque, che io sappia, non c'è una teoria standard su queste cose (ma potrei sbagliarmi).
Se ti incuriosiscono questo genere di equazioni, cerca "equazioni funzionali" tra cui ci sono anche gli esempi classici di equazioni che producono l'esponenziale e il logaritmo come soluzioni. Partendo da queste equzioni particolari, a volte si possono trovare soluzioni per altre equazioni di questo tipo, ma credo siano veramente poche e, comunque, che io sappia, non c'è una teoria standard su queste cose (ma potrei sbagliarmi).
Capisco...Grazie mille comunque!
