Determinare sup, inf, max e min
Mi servirebbe che mi spiegaste il procedimento (anche non passo passo, ma un minimo esplicitato) per trovare, dato l'insieme:
$S={(n^2+3)/(n+2):n in NN}
1) Determinare sup(S) e inf(S)
2) $max(S)$ e $min(S)$
io cerco il sup impostando la disequazione $(n^2+3)/(n+2)<=k$
dopdichè faccio due passaggi e mi perdo...
$S={(n^2+3)/(n+2):n in NN}
1) Determinare sup(S) e inf(S)
2) $max(S)$ e $min(S)$
io cerco il sup impostando la disequazione $(n^2+3)/(n+2)<=k$
dopdichè faccio due passaggi e mi perdo...
Risposte
in attesa che eventualmente altri ti suggeriscano un procedimento più rigoroso, puoi pensare a quella frazione come una funzione, che ti viene strettamente crescente e tendente a +oo per n->+oo, quindi c'è un min (3/2 se n parte da 0 e 4/3 se n parte da 1): inf=min, mentre non c'è max, e sup=+oo.
spero sia chiaro. ciao.
spero sia chiaro. ciao.
"adaBTTLS":
in attesa che eventualmente altri ti suggeriscano un procedimento più rigoroso, puoi pensare a quella frazione come una funzione, che ti viene strettamente crescente e tendente a +oo per n->+oo, quindi c'è un min (3/2 se n parte da 0 e 4/3 se n parte da 1): inf=min, mentre non c'è max, e sup=+oo.
spero sia chiaro. ciao.
non posso unsare la nozione di limite e derivata, e poi dire che è strettamente screscente non è equivalente a dire che non è superiormente limitata... o sbaglio?
che il limite è infinito sì, però. o no?
Devi provare la monotonia della successione, che è (non ho fatto rigorosamente i calcoli) definitivamente crescente; il massimo non esiste mentre il sup è +oo; la successione ammette minimo che coincide,pertanto, con l'inf per un valore di n, che potrebbe essere 0. Devi dimostrare per quali valori di n l'ennesimo termine è minore dell'n+1: se questo avviene per ogni n allora il minimo l'otterrai per n=0.
Ciao[/spoiler]
Ciao[/spoiler]
"nato_pigro":
Mi servirebbe che mi spiegaste il procedimento (anche non passo passo, ma un minimo esplicitato) per trovare, dato l'insieme:
$S={(n^2+3)/(n+2):n in NN}
1) Determinare sup(S) e inf(S)
2) $max(S)$ e $min(S)$
Se calcoli il limite del termine generale per $n to oo$ scopri che fa $+oo$, quindi il sup è $+oo$ e $S$ non ha massimo.
Se non puoi usare la nozione di limite (il che è strano: se stai facendo le successioni almeno i limiti li potresti usare) io proverei a dimostrare che la disuguaglianza $(n^2+3)/(n+2) ge k$ è verificata per $n$ grande per ogni fissato valore di $k$.
Restano da discutere inf e min. Come suggerisce adaBTTLS, puoi (a parte) studiare la funzione $x to (x^2+3)/(x+2)$ e calcolarne il minimo tra $0$ e $+oo$. La sua derivata è $(x^2+4x-3)/((x+2)^2)$, e quindi in $[0,+oo)$ ha lo stesso segno di $x^2+4x-3$, che è negativa tra $-2-sqrt{7}$ e $-2+sqrt{7}$, quindi tra $0$ e $sqrt{7}-2$ la funzione decresce, e dopo $sqrt{7}-2$ essa cresce. Puoi dedurne che i candidati naturali $n$ che realizzano il minimo sono i due naturali più vicini a $sqrt{7}-2$, che è compreso tra $0$ e $1$. Quindi i candidati a realizzare il minimo sono $0$ e $1$.
Ora in $0$ hai $3/2$, in $1$ hai $4/3$, e siccome $4/3<3/2$ il minimo (quindi uguale all'inf) sarà realizzato per $n=1$.
Scriviamo qualche valore per convincerci:
$3/2$, $4/3$, $7/4$, $12/5$, e via crescendo.
Naturalmente quello che ho appena fatto è un procedimento "finto", perché usa strumenti che a priori sono intoccabili, come le derivate. Quindi ora che sappiamo che il minimo è realizzato in $1$ e che per $n ge 2$ la successione è crescente, dimostriamo senza trucchi che essa è crescente per $n ge 2$.
Per farlo basta impostare la disequazione $a_n le a_{n+1}$ e mostrare che è sicuramente valida per $n ge 2$.
Una volta fatto questo basterà confrontare $a_0$, $a_1$, $a_2$, trovare che $a_1$ è più piccolo di $a_0$ e $a_2$ e quindi concludere usando appunto la crescenza dopo $2$.
Per risolvere questo tipo di esercizi ti conviene fare la divisione tra polinomi (con il solito metodo o come ho fatto io con i completamenti) mettendo in evidenza il termine in $n$ e il resto che in questo caso è una quantità sempre decrescente
$(n^2+3)/(n+2)=(n^2+2n-2n-4+7)/(n+2)=n-2+7/(n+2)$
Si nota subito che il $Sup(S)=+oo$ e che non c'è massimo in quanto l'insieme dei naturali non è limitato, quindi $n-2+7/(n+2)$ non può essere superiormente limitato.
L'estremo inferiore dovrebbe essere $4/3$, cioè $S(1)$. Devi verificare le due disequazioni:
Per ogni valore di $n$ deve essere verificato che $(n^2+3)/(n+2)>3/2$
e che esiste un valore di $n$ che verifica $(n^2+3)/(n+2)<3/2+epsilon$, per ogni $epsilon>0$
$(n^2+3)/(n+2)=(n^2+2n-2n-4+7)/(n+2)=n-2+7/(n+2)$
Si nota subito che il $Sup(S)=+oo$ e che non c'è massimo in quanto l'insieme dei naturali non è limitato, quindi $n-2+7/(n+2)$ non può essere superiormente limitato.
L'estremo inferiore dovrebbe essere $4/3$, cioè $S(1)$. Devi verificare le due disequazioni:
Per ogni valore di $n$ deve essere verificato che $(n^2+3)/(n+2)>3/2$
e che esiste un valore di $n$ che verifica $(n^2+3)/(n+2)<3/2+epsilon$, per ogni $epsilon>0$
"Martino":
[quote="nato_pigro"]Mi servirebbe che mi spiegaste il procedimento (anche non passo passo, ma un minimo esplicitato) per trovare, dato l'insieme:
$S={(n^2+3)/(n+2):n in NN}
1) Determinare sup(S) e inf(S)
2) $max(S)$ e $min(S)$
Se calcoli il limite del termine generale per $n to oo$ scopri che fa $+oo$, quindi il sup è $+oo$ e $S$ non ha massimo.
Se non puoi usare la nozione di limite (il che è strano: se stai facendo le successioni almeno i limiti li potresti usare) io proverei a dimostrare che la disuguaglianza $(n^2+3)/(n+2) ge k$ è verificata per $n$ grande per ogni fissato valore di $k$.
Restano da discutere inf e min. Come suggerisce adaBTTLS, puoi (a parte) studiare la funzione $x to (x^2+3)/(x+2)$ e calcolarne il minimo tra $0$ e $+oo$. La sua derivata è $(x^2+4x-3)/((x+2)^2)$, e quindi in $[0,+oo)$ ha lo stesso segno di $x^2+4x-3$, che è negativa tra $-2-sqrt{7}$ e $-2+sqrt{7}$, quindi tra $0$ e $sqrt{7}-2$ la funzione decresce, e dopo $sqrt{7}-2$ essa cresce. Puoi dedurne che i candidati naturali $n$ che realizzano il minimo sono i due naturali più vicini a $sqrt{7}-2$, che è compreso tra $0$ e $1$. Quindi i candidati a realizzare il minimo sono $0$ e $1$.
Ora in $0$ hai $3/2$, in $1$ hai $4/3$, e siccome $4/3<3/2$ il minimo (quindi uguale all'inf) sarà realizzato per $n=1$.
Scriviamo qualche valore per convincerci:
$3/2$, $4/3$, $7/4$, $12/5$, e via crescendo.
Naturalmente quello che ho appena fatto è un procedimento "finto", perché usa strumenti che a priori sono intoccabili, come le derivate. Quindi ora che sappiamo che il minimo è realizzato in $1$ e che per $n ge 2$ la successione è crescente, dimostriamo senza trucchi che essa è crescente per $n ge 2$.
Per farlo basta impostare la disequazione $a_n le a_{n+1}$ e mostrare che è sicuramente valida per $n ge 2$.
Una volta fatto questo basterà confrontare $a_0$, $a_1$, $a_2$, trovare che $a_1$ è più piccolo di $a_0$ e $a_2$ e quindi concludere usando appunto la crescenza dopo $2$.[/quote]
nonono, deov fare il tutto senza usare la nozione di limite e derivata. Solo con la definizione di sup e inf. Per quanto ne so $(n^2+3)/(n+2)$ non è neanche una funzione, io devo considerare l'insieme $S={(n^2+3)/(n+2):n in NN}$
devo utilizzare gli sturmenti che abbiamo introdotto fino adesso e di divisione di polinomi non ne abbiamo ancora parlato, quindi non dovrei conoscerla...
mi è venuto in mente che per trovare il sup (e dire che non c'è il max) potrei minonare $(n^2+3)/(n+2)<=n/2$ e dire che $n/2$ ovviamente non è limitata per la proprietà di archimede. Infatti viene $2n^2+6>=n^2+n$ e poi il delta è negativo quindi è sempre verificata la disequazione. Può essere?
@ @melia:per trovare l'inf comunque bisogna andare a tentativi (sempre tenendo conto che non si puù usare la derivata)?
poi non capito da dove è uscito il $3/2$...
"nato_pigro":
nonono, deov fare il tutto senza usare la nozione di limite e derivata. Solo con la definizione di sup e inf. Per quanto ne so $(n^2+3)/(n+2)$ non è neanche una funzione, io devo considerare l'insieme $S={(n^2+3)/(n+2):n in NN}$
devo utilizzare gli sturmenti che abbiamo introdotto fino adesso e di divisione di polinomi non ne abbiamo ancora parlato, quindi non dovrei conoscerla...
2 piccoli commenti:
- certo che non ti è stata assegnata una funzione, ma un insieme. Ciò non toglie che l'insieme che hai sia l'immagine di una funzione da $NN$ in $RR$, sopra descritta, e nessuno ti può impedire di usarla, se ti fa comodo
- la divisione tra polinomi sei autorizzato ad usarla (è robetta delle secondarie)
Commento generale: tu puoi usare qualunque strumento (cabbala inclusa) per immaginare quale possa essere il risultato, o per "capire cosa succede". Poi, per provare le asserzioni devi usare gli strumenti che hai a disposizione.
Se tu hai fatto limiti e derivate usali tranquillamente, ti trovi quali sono sup e inf e poi lo dimostri con la definizione...
Condivido con Fioravante e con Gatto89.
Derivate e limiti li usi per trovare la soluzione. Poi nella dimostrazione non li usi, ma applichi le definizioni. Dimostrare qualcosa che si sa essere vero e' ben piu' facile che tentare di dimostrare qualcosa di cui non si e' sicuri.
E' sempre cosi': prima si trova empiricamente la soluzione e poi si scrive una dimostrazione dettagliata senza trucchi.
Derivate e limiti li usi per trovare la soluzione. Poi nella dimostrazione non li usi, ma applichi le definizioni. Dimostrare qualcosa che si sa essere vero e' ben piu' facile che tentare di dimostrare qualcosa di cui non si e' sicuri.
E' sempre cosi': prima si trova empiricamente la soluzione e poi si scrive una dimostrazione dettagliata senza trucchi.
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