Determinare Potenziali Campo Vettoriale

[MrMojoRisin891]

Salve, sto svolgendo questo esercizio:

"Dato il campo vettoriale
$F(x,y)=(y^2/(x+y)^2, x^2/(x+y)^2)$,
dire se è conservativo, e in caso affermativo calcolarne i potenziali."

Il campo è definito in $R\\{x+y=0}.$

$d(A)/dy=d(B)/dx$ quindi è irrotazionale nei due insiemi $A_1$, $A_2$ divisi dalla retta $y=-x$;
($A$ e $B$ sono le due componenti del campo).
Cerco il potenziale integrando la prima componente del campo in $dx$ e, derivando rispetto a $y$ e uguagliando alla seconda componente mi trovo il valore di $c(y)$.
Ottengo
$U = (xy)/(x+y) + c$,

mentre il libro riporta la soluzione
$(xy)/(x+y) + c_1psi_(A_1) + c_2psi_(A_2)$.

Perché non mi vengono gli ultimi due membri?
A cosa corrispondono e come li trovo?
Grazie mille

[MrMojoRisin891]

Up

[alberto.chiarini]

Suppongo che in
\( \displaystyle \frac{xy}{x+y} + c_1\psi_{A_1} + c_2\psi_{A_2}\)
\(\psi_{A_1}\) è l'indicatrice di \(A_1\), cioè vale \(1\) su \(A_1\) e \(0\) su \(A_2\). Analogamente \(\psi_{A_2}\) è l'indicatrice di \(A_2\). Osserva che \(A_1\) e \(A_2\) sono le due regioni connesse e disgiunte di \(\mathbb{R}^2\setminus\{x+y=0\}\) e che la costante che ottieni con il tuo metodo non è necessariamente la stessa nelle due regioni.

[MrMojoRisin891]

Quindi in pratica, trovata la funzione potenziale, basta aggiungere un numero di costanti in base al numero di regioni che compongono il dominio, moltiplicata ognuna per l'indicatrice di una regione?

[alberto.chiarini]

Esattamente! Ricorda che derivata uguale a zero su un dominio connesso implica costante, se hai diverse regioni le costanti possono differire

[MrMojoRisin891]

Chiarissimo, grazie!