Determinare per quali valori di alfa la funzione è continua
Ciao a tutti.
Volevo chiedervi un aiuto per la risoluzione di questo esercizio. Chiede di stabilire per quali valori di alfa la funzione è continua:
{ sen (a(x-2)/ x-2) per ogni x diverso da due
3 per x=2}
non so proprio da dove iniziare!
Grazie a chi saprà aiutarmi
Volevo chiedervi un aiuto per la risoluzione di questo esercizio. Chiede di stabilire per quali valori di alfa la funzione è continua:
{ sen (a(x-2)/ x-2) per ogni x diverso da due
3 per x=2}
non so proprio da dove iniziare!
Grazie a chi saprà aiutarmi
Risposte
Una funzione è continua se è continua in ogni suo punto. Quando una funzione è continua in un punto?
Se il limite destro e sinistro in quel punto assumono lo stesso valore o se il limite della funzione per x che tende a xo = f(xo).
Ma non so come applicarle e all'esercizio, anche perché l'alfa da trovare è argomento del seno. Come posso fare?
Ma non so come applicarle e all'esercizio, anche perché l'alfa da trovare è argomento del seno. Come posso fare?
Come hai detto tu: devi dimostrare che i limiti destri e sinistri coincidano con 3. Insomma calcola i limiti come se \(\alpha\) fosse una costante e poi uguagli a 3 per ricavarlo.
Ti sembrerò stupida ma non riesco a capire come svolgere il calcolo. Puoi svolgermelo tu per favore? Grazie mille per la disponibilità e per l'aiuto validissimo
In questo caso c'è poco da fare \(\sin(y)\le 1<3\).
Allora, ti dice che $x$ deve essere $!=2$ quindi tu prendi il quel $2$ perchè il limite che tu farai avra $x->2$
$sen(alpha(x-2)/(x-2))$
si semplifica il denominatore con la $(x-2)$ sopra.
e resta $senalfa$
$lim_(x->2)senalpha=senalpha$
ora fai il limite dell'altra parte della funzione, quella che cè scritta nel testo, che è 3.
$lim_(x->2)3=3$
perchè fa $3$? perchè non abbiamo nessuna $x$ da sostituire con il numero $2$ quindi resta cosi.....se avevamo $lim_(x->2)x+3$ faceva $5$...
Cmq torniamo a noi, ora prendi il risultato $senalfa$ e lo poni uguale all'altro risultato che hai trovato che era $3$.
$senalpha=3$
e ora ricavi $alpha$
$sen(alpha(x-2)/(x-2))$
si semplifica il denominatore con la $(x-2)$ sopra.
e resta $senalfa$
$lim_(x->2)senalpha=senalpha$
ora fai il limite dell'altra parte della funzione, quella che cè scritta nel testo, che è 3.
$lim_(x->2)3=3$
perchè fa $3$? perchè non abbiamo nessuna $x$ da sostituire con il numero $2$ quindi resta cosi.....se avevamo $lim_(x->2)x+3$ faceva $5$...
Cmq torniamo a noi, ora prendi il risultato $senalfa$ e lo poni uguale all'altro risultato che hai trovato che era $3$.
$senalpha=3$
e ora ricavi $alpha$
ora scusa mi ma non mi ricordo come si ricava $alpha$ dal seno, mi pare che risulti l'$arcsen$ ma non sono sicuro....cmq metti che riesci a trovare che $alpha=7$ allora la risposta al tuo esercizio sarà....'la funzione è continua in $x=2$ con $alpha=7$...mi pare che sia cosi.
"ramarro":
Allora, ti dice che $x$ deve essere $!=2$ quindi tu prendi il quel $2$ perchè il limite che tu farai avra $x->2$
$sen(alpha(x-2)/(x-2))$
si semplifica il denominatore con la $(x-2)$ sopra.
e resta $sen\alfa$
$lim_(x->2)sen alpha=sen alpha$
ora fai il limite dell'altra parte della funzione, quella che cè scritta nel testo, che è 3.
$lim_(x->2)3=3$
perchè fa $3$? perchè non abbiamo nessuna $x$ da sostituire con il numero $2$ quindi resta cosi.....se avevamo $lim_(x->2)x+3$ faceva $5$...
Cmq torniamo a noi, ora prendi il risultato $sen alfa$ e lo poni uguale all'altro risultato che hai trovato che era $3$.
$sen alpha=3$
e ora ricavi $alpha$
Ci sono alcune improprietà in quello che scrivi:
[list=1][*:34nm30kz] Scrivere \(\displaystyle \lim_{x\to 2} 3 = 3 \) ha poco senso: non stai calcolando il limite. In questo caso particolare \(\displaystyle 3 \) è il valore di \(\displaystyle f \) in \(\displaystyle 2 \) e non ha senso vederlo diversamente. Quello che tu devi dimostrare, in genere, è che \(\displaystyle \lim_{x\to p^{-}} f(x) = \lim_{p\to 2^{-}} f(x) = f(p) \). Ovviamente due o più di quei valori possono coincidere banalmente.[/*:m:34nm30kz]
[*:34nm30kz] L'equazione \(\displaystyle \sin \alpha = 3 \) è banalmente senza soluzioni. Nota che se fosse stato \(\displaystyle \sin \alpha = \frac12 \) non sarebbe bastato trovare un \(\displaystyle \alpha \) ma avresti dovuto trovare ogni altra \(\displaystyle \alpha \) usando la periodicità del seno. [/*:m:34nm30kz][/list:o:34nm30kz]
Ma essendo la funzione seno continua, è possibile invece dire che la funzione è continua per ogni valore di alfa?
Comunque chiedo scusa ma ho scritto male la funzione, (x-2) è denominatore non dell'argomento del seno ma di tutta la funzione. Grazie ancora!
Comunque chiedo scusa ma ho scritto male la funzione, (x-2) è denominatore non dell'argomento del seno ma di tutta la funzione. Grazie ancora!
Sulla questione del seno sì, la funzione è continua per ogni punto diverso da \(2\).
Se si ha \(\displaystyle \frac{\sin(\alpha(x-2))}{x-2} \) allora le cose cambiano e devi calcolare materialmente i due limiti. Il limite si calcola usando l'innocente cambio di variabili \(\displaystyle z = x-2 \) e quindi usando il limite notevole appropriato http://it.wikipedia.org/wiki/Limite_notevole
Da ciò che ho detto prima dovresti poi trovare facilmente il valore di \(\displaystyle \alpha \) che rende la funzione continua in quel punto.
Se si ha \(\displaystyle \frac{\sin(\alpha(x-2))}{x-2} \) allora le cose cambiano e devi calcolare materialmente i due limiti. Il limite si calcola usando l'innocente cambio di variabili \(\displaystyle z = x-2 \) e quindi usando il limite notevole appropriato http://it.wikipedia.org/wiki/Limite_notevole
Da ciò che ho detto prima dovresti poi trovare facilmente il valore di \(\displaystyle \alpha \) che rende la funzione continua in quel punto.
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