Determinare Max/min funzione 3 variabili
Ciao a tutti, devo determinare max e minimo della funzione $f$ (con il vincolo $A$):
$A={(x,y,z)in RR^3 | x^2+y^2+z^2 <= 1 , x+y+z<=1}$
$f(x,y,z)=2x+2y+z^2$
Il vincolo impone che l'insieme sia costituito da una sfera con centro nell'origine e un piano.
Inoltre l'insieme $A$ è chiuso e limitato (quindi compatto), $f$ è continua, e quindi per il Teorema di Weierstrass posso affermare che la funzione ammetterà max e minimo in quell'insieme.
Per trovare possibili punti interni pongo il gradiente di $f$ uguale a $0$:
$\nabla f(x,y,z)=0 rArr \{(2= 0),(2= 0),(2z = 0):}$ che chiaramente non ha alcuna soluzione, quindi non ho punti interni.
Per studiare i punti di frontiera utilizzo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange:
$\{(\nabla f(x,y,z)=\lambda \nabla F_1(x,y,z) + \mu \nabla F_2(x,y,z)),(F_1(x,y,z)=0),(F_2(x,y,z)=0):}$
$\{(2=\lambda 2x + \mu ),(2=\lambda 2y + \mu ),(2z=\lambda 2z + \mu ),(x^2+y^2+z^2=1),(x+y+z=1):}$
[...]
Risolvo e trovo dei punti candidati ad essere max/min della funzione.
Adesso la mia domanda è: Ho finito così l'esercizio o devo studiare altre intersezioni?
Ad esempio i due insiemi $x^2+y^2+z^2<1, x+y+z=1$ e $x^2+y^2+z^2=1, x+y+z<1$ devo studiarli pure? Se si, come dovrei procedere? Mi interessa solo l'impostazione così da togliermi il dubbio, i calcoli poi li faccio io.
Grazie a chiunque voglia aiutarmi
$A={(x,y,z)in RR^3 | x^2+y^2+z^2 <= 1 , x+y+z<=1}$
$f(x,y,z)=2x+2y+z^2$
Il vincolo impone che l'insieme sia costituito da una sfera con centro nell'origine e un piano.
Inoltre l'insieme $A$ è chiuso e limitato (quindi compatto), $f$ è continua, e quindi per il Teorema di Weierstrass posso affermare che la funzione ammetterà max e minimo in quell'insieme.
Per trovare possibili punti interni pongo il gradiente di $f$ uguale a $0$:
$\nabla f(x,y,z)=0 rArr \{(2= 0),(2= 0),(2z = 0):}$ che chiaramente non ha alcuna soluzione, quindi non ho punti interni.
Per studiare i punti di frontiera utilizzo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange:
$\{(\nabla f(x,y,z)=\lambda \nabla F_1(x,y,z) + \mu \nabla F_2(x,y,z)),(F_1(x,y,z)=0),(F_2(x,y,z)=0):}$
$\{(2=\lambda 2x + \mu ),(2=\lambda 2y + \mu ),(2z=\lambda 2z + \mu ),(x^2+y^2+z^2=1),(x+y+z=1):}$
[...]
Risolvo e trovo dei punti candidati ad essere max/min della funzione.
Adesso la mia domanda è: Ho finito così l'esercizio o devo studiare altre intersezioni?
Ad esempio i due insiemi $x^2+y^2+z^2<1, x+y+z=1$ e $x^2+y^2+z^2=1, x+y+z<1$ devo studiarli pure? Se si, come dovrei procedere? Mi interessa solo l'impostazione così da togliermi il dubbio, i calcoli poi li faccio io.
Grazie a chiunque voglia aiutarmi
Risposte
Così facendo, della frontiera hai analizzato solo la curva intersezione della sfera con il piano.
E quindi dovrei studiare le due intersezioni che ho scritto? Come dovrei impostare i sistemi? Non capisco come applicare Lagrange in quei casi..
Grazie
Grazie
Posto:
$F_1(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1$
$F_2(x,y,z)=x+y+z-1$
per analizzare la parte di superficie sferica:
$\{(\nabla f(x,y,z)=\lambda \nabla F_1(x,y,z)),(F_1(x,y,z)=0),(F_2(x,y,z)<0):}$
per analizzare la parte di superficie piana:
$\{(\nabla f(x,y,z)=\lambda \nabla F_2(x,y,z)),(F_2(x,y,z)=0),(F_1(x,y,z)<0):}$
$F_1(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1$
$F_2(x,y,z)=x+y+z-1$
per analizzare la parte di superficie sferica:
$\{(\nabla f(x,y,z)=\lambda \nabla F_1(x,y,z)),(F_1(x,y,z)=0),(F_2(x,y,z)<0):}$
per analizzare la parte di superficie piana:
$\{(\nabla f(x,y,z)=\lambda \nabla F_2(x,y,z)),(F_2(x,y,z)=0),(F_1(x,y,z)<0):}$
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