Determinare l'ordine di infinitesimo

[Mr.Mazzarr]

L'esercizio mi chiede di determinare l'ordine di infinitesimo in 0 della funzione:

$f(x) =$ $log(5x^2 - 3x + 2^x)$

Esattamente, cosa chiede? So che per determinare l'ordine d'infinitesimo si confronta la funzione data con l'infinitesimo cambio $1/x^alpha$, con $alpha$ da assegnare.
Ma in questo caso?

Grazie per le future risposte.

[Brancaleone1]

Ciao
La funzione è infinitesima di ordine inferiore a qualunque $1/x^alpha$.
Infatti sai che per ogni $alpha>0 in RR$ si ha:

$lim_(x_0->0^+) x^alpha ln(x)=0$
$lim_(x_0->+oo) ln(x)/x^alpha=0$

[Mr.Mazzarr]

Questo l'hai dedotto dalla teoria dell'ordine degli infinitesimi, poichè il loro rapporto tende a $0$, giusto?
Solo che in quel testo, l'esercizio chiede l'ordine di infintesimo in $0$. Cosa vuol dire?

[Noisemaker]

per $x\to 0$

[Brancaleone1]

Sì, dalla teoria degli infinitesimi. Però sono io che ho fatto confusione perché ho tirato in ballo $lim_(x_0->+oo) ln(x)/x^alpha=0$ che non c'entra con il caso in questione. Scusa.

In questo particolare caso basta avvalersi di una piccola regola che recita: Una funzione infinitesima per $x->x_0$ ha ordine $n$ tale che $d^n/(dx)f(x) ne 0$, essendo $d^n/(dx)f(x)$ la prima derivata che calcolata nel punto in questione non sia nulla.

Poiché:

$f(x)=ln(5x^2-3x+2^x)$

$f'(x)=(2^x ln(2) + 10x - 3)/(2^x + x(5x - 3))$

$=>f'(0) ne 0$

allora $lim_(x->0) ln(5x^2-3x+2^x)=0 text( di ordine 1)$

[Mr.Mazzarr]

Chiaro. Quindi ad ogni esercizio del genere applico questa regola e se mi chiede di calcolare l'infinitesimo in $n$, faccio il limite tendente ad $n$.

Una domanda, sempre sugli infinitesimi: ma se non ho una frazione posso lo stesso procedere con la cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore oppure devo per forza avere una frazione?

[Brancaleone1]

"Mr.Mazzarr":
Una domanda, sempre sugli infinitesimi: ma se non ho una frazione posso lo stesso procedere con la cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore oppure devo per forza avere una frazione?

No, il procedimento è valido in qualunque occasione. Ad esempio:

$lim_(x->0) (x^1000 + x^2 +x) = 0 text( di ordine 1)$

[Mr.Mazzarr]

Tornando all'esercizio iniziale, se la domanda fosse stata: calcolare l'ordine di infinitesimo della funzione:

$f(x)$ $=$ $log(5x^2 - 3x + 2^x)$

Come avrei dovuto procedere ?

[Brancaleone1]

"Mr.Mazzarr":Tornando all'esercizio iniziale, se la domanda fosse stata: calcolare l'ordine di infinitesimo della funzione:

$f(x)$ $=$ $log(5x^2 - 3x + 2^x)$

Come avrei dovuto procedere ?

Non è la stessa di prima?
E comunque in quale punto?

[Mr.Mazzarr]

Sì è la stessa. La differenza è che appunto non mi chiede il punto, oppure non è possibile un esercizio del genere?

[Brancaleone1]

Mah di per sé no: se non so in che punto calcolare l'infinitesimo (ce ne potrebbero essere infiniti!) come faccio a controllare l'ordine?
Al massimo puoi imporre $f(x)=0$ e $lim_(x-> x_i) f(x)=0$ (con $x_i$ estremi del dominio) e controllare in ogni singolo punto - se è umanamente possibile

In questo caso i punti in cui $f(x)$ si annulla sono 2.

[Mr.Mazzarr]

Mmm ok. Credo di aver capito.
Mi chiede l'infinitesimo nel punto $x_1$, studio quindi:

$lim_(x->x_1)(f(x))/x^alpha$

Ora però mi è sorto un dubbio meramente pratico. Nel limite precedente, con $alpha=1$, il limite era:

$lim_(x->0) log(5x^2 - 3x + 2^x)/x$

Questo limite non tende a $0$, ma tende a $-3 + log2$. Come posso studiare l'ordine di infinitesimo così?

[Brancaleone1]

E' lo stesso caso di prima, non perderti
Il limite $lim_(x->0) log(5x^2 - 3x + 2^x)/x$ tende a un numero $ne 0$, questo significa che numeratore e denominatore sono infinitesimi dello stesso ordine!

$x=x^1$, no?

[Mr.Mazzarr]

Giusto Brancaleone, scusami ma ho la testa piena di confusione.