Determinare lo Sviluppo di Taylor di una funzione per punto iniziale diverso da 0

[EugenioPrince]

Salve a tutti,
sto risolvendo alcuni esercizi di Analisi Matematica II e mi sono ritrovato a dover calcolare lo sviluppo in serie di Taylor per la funzione $ f(x)=(1)/(4-x^2)^2 $ con punto iniziale $ x=0 $ .
Ho pensato di considerare $ (4-x^2)^2=(4-x^2)(4-x^2) $ per cui $ 1/(4-x^2)^2=(1/(4-x^2))(1/(4-x^2)) $ il cui sviluppo in serie corrisponde a:

$ (1/4sum_( k = 0)(x^(2k))/(4^(k)))(1/4sum_( k = 0)(x^(2k))/(4^(k)))=sum_(k =0)(x^(4k))/(4^(2(k+1))) $

con raggio di convergenza $ r=|x-(-2)|=2 $ .

Ora dovrei svolgere lo stesso esercizio per punto iniziale $ x=4 $ , per cui determino a priori il raggio di convergenza $ r=2 $ . Mi trovo però in difficoltà per svolgere tale esercizio per la funzione assegnata in quanto la serie risultante mi viene esattamente uguale. Forse non ho compreso in pieno la risoluzione di questa tipologia di esercizi, ma comunque non riesco a trovare un aiuto nemmeno nel mio libro di testo.
Grazie per il vostro tempo,
Eugenio.

[qasw1]

Dato che $4-x^2 = (2+x)(2-x)$, io farei così:
$1/(4-x^2)^2 = 1/(2+x)^2 \cdot 1/(2-x)^2 = (1/{6+(x-4)})^2 \cdot (1/{-2-(x-4)})^2$
Quindi sviluppi i due fattori.

[EugenioPrince]

Quindi si avrebbe:

$ (1/(6+(x−4)))^2⋅(1/(−2−(x−4)))^2= $
$ =(1/(6(1-(4-x)/6)))^2(1/(-2(1-(4-x)/2)))^2= $
$ =(1/6sum_(k = 0)((4-x)^k/6^k))^2(-1/2sum_(k = 0)((4-x)^k/2^k))^2 $

Ma a questo punto posso svolgere il quadrato della serie senza farmi troppi problemi? Cioè posso scrivere:

$ =(1/36sum_(k = 0)((4-x)^(2k)/6^(2k)))(1/4sum_(k = 0)((4-x)^(2k)/2^(2k))) =$
$ =(sum_(k = 0)((4-x)^(2k)/36^(k+1)))(sum_(k = 0)((4-x)^(2k)/4^(k+1))) $