Determinare l'insieme di convergenza della serie

[swanrhcp]

Salve,
vorrei un consiglio sullo svolgimento di questa tipologia di esercizio, devo trovare l'insieme di convergenza della serie e della serie derivata. Ho fatto così:

$ sum_(n = 1)^(oo) (sen^n x)/(nsen n) $ pongo $t=senx$ e ottengo
$ sum_(n = 1)^(oo) (t^n)/(nsen n) $ che è una serie di potenze, quindi applico il metodo di cauchy-hadamard

$ lim_(n -> oo) root(n)((1) / (nsen n)) = 1 $
Quindi insieme di convergenza $tin(-1,1)$. Per vedere negli estremi la convergenza,

$t=-1$ ottengo $ sum_(n = 1)^(oo) (-1^n)/(nsen n) $ e questa serie converge
$t=1$ ottengo $ sum_(n = 1)^(oo) (1)/(nsen n) $ e questa serie converge

quindi la serie converge per $sen x in [-1,1]$

Mentre per la serie derivata mi sono detto, che avente lo stesso raggio di convergenza della serie di partenza allora convergerà nello stesso insieme.. E' corretto come procedimento? Grazie.

[swanrhcp]

up

[ciampax]

C'è qualcosa che non mi torna: $\sin n$ cambia segno al variare di $n$, per cui le due serie numeriche che ottieni quando $t=\pm 1$ non sono nè a termini costanti né di Leibniz. Come fai a dire che le serie convergono?

Ma ancora prima: come fai a calcolare il limite per determinare il raggio di convergenza?

[swanrhcp]

Il limite $ lim_(n -> oo) root(n)((1) / (nsen n)) = 1 $ esce $lim_(n -> oo) 1/(root(n)(n) root(n)(sen n))= 1/(1)$
$lim_(n -> oo)$ di $root(n)$ di una quantità positiva è uguale ad $1$..e sia $n$ che $sen n$ sono quantità positive che io sappia.

[Noisemaker]

devi considerare il valore assoluto del termine generale, e poi applicare il criterio che ritieni opportuno, perchè quella serie non ha segno costante!

[swanrhcp]

ehm si ho ignorato di scrivere il valore assoluto, però c'è...in ogni caso, considerando che l' sotto c'è il valore assoluto, vale lo stesso come limite uguale ad 1??