Determinare l'immagine

[xnix]

si consideri la funzione $f:D->RR$ dato da $f(x,y)=y-x^2/2$ dove $D=[ (x,y) in RR^2 ,|Y|<=1 , |X-Y|<=1]$ quale è l'immagine di f? ... dunque io ho provato a cercare l'immagine con il metodo dei moltiplicatori di lagrange però ho difficoltà a derivare l'insieme di restrizione D..

[gio73]

"xnix":si consideri la funzione $f:D->RR$ dato da $f(x,y)=y-x^2/2$ dove $D=[ (x,y) in RR^2 ,|Y|<=1 , |X-Y|<=1]$ quale è l'immagine di f? ... dunque io ho provato a cercare l'immagine con il metodo dei moltiplicatori di lagrange però ho difficoltà a derivare l'insieme di restrizione D..

Ciao xnix, forse non ho capito la domanda... sei riuscita/o a disegnare $D$?

[xnix]

si sono riuscito a disegnare $D$ però non riesco ad andare avanti, non so che metodo utilizzare

[Maci86]

Qual è la derivata di $|x|$?

[xnix]

$sign x$ cioè il segno di x..

[Maci86]

Allora non ti resta che lavorare su quella derivata con Lagrange

[xnix]

ah dici solo sulla derivata di $|y|$ e $|x-y|$ perché non dovrei considerarlo?

[Maci86]

No dico che puoi farlo con entrambi, $|x|$ era per farti capire la derivata Anche se la sapevi già!
Come lavoreresti sulla derivata di $|x-y|$?

[xnix]

e qui infatti avrei un po di dubbi sia sulla derivata di $|x-y|$ che sull'impostazione dei sistemi di lagrange.. dovrei trovarne due giusto?

[Maci86]

Uno con due incognite $mu$ e $lambda$ che moltiplicano le due condizioni di vincoli

[xnix]

scusami non mi è chiaro..

[Maci86]

Mostrami come applicheresti Lagrange

[xnix]

$\ { ((x+\mu (x-y)/sqrt (x-y)^2 =0)) , ((1 + \lambda (+- y) \mu (y-x)/sqrt (y-x)^2 =0)) , ((|y|<=1)) , ((|(x-y)|)<=1))$

[Maci86]

$L(x-y)= y-x^2/2 + lambda(|y|-1) + mu(|x-y|-1)$
$L_x= x+mu* sgn(x-y)=0$
$L_y= 1 +lambda* sgn|y| + mu*sgn|x-y|=0$
$L_lambda= |y|-1=0->\{(y=1),(y=-1):}$
$L_mu=|x-y|-1=0->\{(x=0,y=1),(x=2,y=1),(x=-2,y=-1),(x=0,y=-1):}$
Questi 4 punti sono quelli che vanno studiati per capire se sono massimi o minimi (o selle)