Determinare le zone per gli sviluppi in serie di Laurent
Salve di nuovo,
eccomi con un nuovo dubbio sulle serie di Laurent. In esempi passati mi sembrava abbastanza chiaro come determinare le zone degli sviluppi in serie di Laurent, ma vedendo il seguente esempio che ho sui miei appunti, sono andato un po' in crisi...
Data la $f(z)=\frac{z}{z^2+1}$, scrivere lo sviluppo in serie di Laurent attorno a $z=i$ in tutte le regioni possibili.
La funzione la riscrivo come $f(z)=1/2\frac{1}{z-i}+1/2\frac{1}{z+i}$
$z=i$ è un polo semplice.
[asvg]axes();
stroke="red";
circle( [0, 1] , 2 );
stroke="green";
circle([0,-1], 2);[/asvg]
$z=\pm i$ sono poli semplici.
Le regioni possibili sono: $|z-i|>2$ e $|z-i|<2$ ed il raggio è 2.
Domanda 1: perché il raggio è 2? Come si determina, all'atto pratico, quali sono le zone?
Provo a rispondere alla prima domanda: disegno la circonferenza che ha come centro $(0,i)$ e che abbia il raggio più grande possibile, in modo che non contenga l'altro punto $(0,-i)$. Giusto? Poi faccio la stessa cosa per l'altro punto.
Per quanto riguarda la parte $1/2\frac{1}{z-i}$, non c'è bisogno di toccarla perché è già centrata in $z=i$, OK.
Poi ho scritto che:
in $|z-i|<1$, $1/2\frac{1}{z+i}=\cdots=1/{4i} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(z-i)^n}{(2i)^n}$
Domanda 2: perché considera la zona $|z-i|<1$ e non $|z-i|<2$ casomai?
Poi ho una nota che non mi è chiara...
$|-\frac{z-i}{2i}|<1$ perché $|z-i|<2$
Qualcosa mi sfugge.
Poi c'è scritto: quindi per $|z-i|<1$, $f(z)=1/2\frac{1}{z-1}+1/2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(z-i)^n}{(2i)^{n+1}}$
Dal punto di vista dei calcoli torna tutto, ma perché considera la zona $|z-i|<1$ ?
Successivamente prende in considerazione $|z-i|>2$ e trasforma $1/2\frac{1}{z+i}$ in $1/2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(z-i)^n}{(z-i)^{n+1}}$ (E anche in questo passaggio non ho dubbi)
Però perché allora solo adesso considera questo intervallo? $|z-i|>2$ .
Poi conclude dicendo:
$f(z)=1/2\frac{1}{z-i}+1/2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(z-i)^n}{(z-i)^{n+1}}$ valida per $|z-i|>2$
E per $|z-i|<2$??
Scusate ma mi sono proprio confuso.
Non riesco a vedere un percorso logico in questo esercizio!
eccomi con un nuovo dubbio sulle serie di Laurent. In esempi passati mi sembrava abbastanza chiaro come determinare le zone degli sviluppi in serie di Laurent, ma vedendo il seguente esempio che ho sui miei appunti, sono andato un po' in crisi...
Data la $f(z)=\frac{z}{z^2+1}$, scrivere lo sviluppo in serie di Laurent attorno a $z=i$ in tutte le regioni possibili.
La funzione la riscrivo come $f(z)=1/2\frac{1}{z-i}+1/2\frac{1}{z+i}$
$z=i$ è un polo semplice.
[asvg]axes();
stroke="red";
circle( [0, 1] , 2 );
stroke="green";
circle([0,-1], 2);[/asvg]
$z=\pm i$ sono poli semplici.
Le regioni possibili sono: $|z-i|>2$ e $|z-i|<2$ ed il raggio è 2.
Domanda 1: perché il raggio è 2? Come si determina, all'atto pratico, quali sono le zone?
Provo a rispondere alla prima domanda: disegno la circonferenza che ha come centro $(0,i)$ e che abbia il raggio più grande possibile, in modo che non contenga l'altro punto $(0,-i)$. Giusto? Poi faccio la stessa cosa per l'altro punto.
Per quanto riguarda la parte $1/2\frac{1}{z-i}$, non c'è bisogno di toccarla perché è già centrata in $z=i$, OK.
Poi ho scritto che:
in $|z-i|<1$, $1/2\frac{1}{z+i}=\cdots=1/{4i} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(z-i)^n}{(2i)^n}$
Domanda 2: perché considera la zona $|z-i|<1$ e non $|z-i|<2$ casomai?
Poi ho una nota che non mi è chiara...
$|-\frac{z-i}{2i}|<1$ perché $|z-i|<2$
Qualcosa mi sfugge.Poi c'è scritto: quindi per $|z-i|<1$, $f(z)=1/2\frac{1}{z-1}+1/2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(z-i)^n}{(2i)^{n+1}}$
Dal punto di vista dei calcoli torna tutto, ma perché considera la zona $|z-i|<1$ ?
Successivamente prende in considerazione $|z-i|>2$ e trasforma $1/2\frac{1}{z+i}$ in $1/2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(z-i)^n}{(z-i)^{n+1}}$ (E anche in questo passaggio non ho dubbi)
Però perché allora solo adesso considera questo intervallo? $|z-i|>2$ .
Poi conclude dicendo:
$f(z)=1/2\frac{1}{z-i}+1/2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(z-i)^n}{(z-i)^{n+1}}$ valida per $|z-i|>2$
E per $|z-i|<2$??
Scusate ma mi sono proprio confuso.
Non riesco a vedere un percorso logico in questo esercizio!
Risposte
se non ho seguito male i conti..allora:
d1 è conseg. del teorema di esistenza per sviluppi di laurent .....la funzione con polo in -i non è olomorfa in un disco di centro i e raggio>0=|i-(-i)|=2
..in generale se invece di -i il polo fosse stato un x in C, il raggio di sviluppo sarebbe stato <|i-x|, se ci fossero stati più poli in ballo, il raggio da considerare
sarebbe stato < min{|i-x|, x tutti i poli differenti da i}....
d2 il primo sviluppo è giusto anche per |z-i|<2.....
Poi |z-i|<2 <=> |z-i|<|2i| ....<=> |(-1)(z-i)|<|2i|....etc
.......Saluti
d1 è conseg. del teorema di esistenza per sviluppi di laurent .....la funzione con polo in -i non è olomorfa in un disco di centro i e raggio>0=|i-(-i)|=2
..in generale se invece di -i il polo fosse stato un x in C, il raggio di sviluppo sarebbe stato <|i-x|, se ci fossero stati più poli in ballo, il raggio da considerare
sarebbe stato < min{|i-x|, x tutti i poli differenti da i}....
d2 il primo sviluppo è giusto anche per |z-i|<2.....
Poi |z-i|<2 <=> |z-i|<|2i| ....<=> |(-1)(z-i)|<|2i|....etc
.......Saluti
La risposta alla Domanda 1 è corretta; il principio generale è quello sintetizzato nella frase "il cerchio massimo di convergenza di uno sviluppo di Laurent intorno ad una singolarità isolata $z_0$ è quello la cui frontiera 'sbatte' contro la singolarità di $f$ più vicina a $z_0$".
Qui si capisce subito perchè è importante che la singolarità in $z_0$ sia isolata: infatti se $z_0$ fosse d'accumulazione per una successione $(z_n)$ di punti singolari, non avrebbe senso parlare del cerchio di convergenza dello sviluppo di Laurent perchè in ogni intorno di $z_0$ cadrebbero infiniti punti di divergenza per $|f(z)|$. (Ok, l'ho detto un po' alla buona, ma la morale è proprio questa.
)
La risposta alla Domanda 2 è più semplice: chi ha redatto gli appunti ha sbagliato a scrivere; insomma il raggio dell'intorno è $2$, come da te indicato, non $1$.
Qui si capisce subito perchè è importante che la singolarità in $z_0$ sia isolata: infatti se $z_0$ fosse d'accumulazione per una successione $(z_n)$ di punti singolari, non avrebbe senso parlare del cerchio di convergenza dello sviluppo di Laurent perchè in ogni intorno di $z_0$ cadrebbero infiniti punti di divergenza per $|f(z)|$. (Ok, l'ho detto un po' alla buona, ma la morale è proprio questa.
)La risposta alla Domanda 2 è più semplice: chi ha redatto gli appunti ha sbagliato a scrivere; insomma il raggio dell'intorno è $2$, come da te indicato, non $1$.
Grazie mille!!
Ora è tutto più chiaro!
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