Determinare le radici di una funzione.
Ciao a tutti. Vorrei chiedervi un aiuto per capire come si svolge questo tipo di esercizi.
Devo determinare le radici $>1$ della funzione
$f(x)=1/x^2-1/4 (log(x^2-4))(x-2)$
Ora.. per determinare le radici in generale so che devo porre la funzione $f(x)=0$ e già per questo ho alcune difficoltà in questa funzione.
Ma per determinare quelle $>1$ come si fa? Devo prima calcolare tutte le radici e poi vedere quali sono più grandi di 1, o c'è un'altra idea di fondo che mi sfugge?
Devo determinare le radici $>1$ della funzione
$f(x)=1/x^2-1/4 (log(x^2-4))(x-2)$
Ora.. per determinare le radici in generale so che devo porre la funzione $f(x)=0$ e già per questo ho alcune difficoltà in questa funzione.
Ma per determinare quelle $>1$ come si fa? Devo prima calcolare tutte le radici e poi vedere quali sono più grandi di 1, o c'è un'altra idea di fondo che mi sfugge?

Risposte
"dustofstar":
Ciao a tutti. Vorrei chiedervi un aiuto per capire come si svolge questo tipo di esercizi.
Devo determinare le radici $>1$ della funzione
$f(x)=1/x^2-1/4 (log(x^2-4))(x-2)$
Ora.. per determinare le radici in generale so che devo porre la funzione $f(x)=0$ e già per questo ho alcune difficoltà in questa funzione.
Ma per determinare quelle $>1$ come si fa? Devo prima calcolare tutte le radici e poi vedere quali sono più grandi di 1, o c'è un'altra idea di fondo che mi sfugge?
Io ho sempre fatto come te. Prima cercavo le radici e poi vedevo quali andavano bene. Intanto devi vedere per quali valori è definita la funzione e poi, visto che ti servono le eventuali radici $>1$, considerare solo il dominio per $x>1$. Vedi subito che questo significa che devi limitarti a considerare $x>2$. Il problema è quindi di sapere se esistono radici maggiori di 2. Se fai una traslazione puoi riportarti al problema di trovare le radici positive ma poi non so se c'è qualche scorciatoia per l'esistenza come la regola di Cartesio che vale per i polinomi, ma penso di no.
Uhm.. se parliamo di traslazioni.. devo ammettere le mie difficoltà.. :S
ma.. già nel trovare le radici di questa funzione ho delle difficoltà.. come posso fare??
ma.. già nel trovare le radici di questa funzione ho delle difficoltà.. come posso fare??

Vuoi dire vedere SE esistono?
Perchè, in quanto a stabilire quali, con quella funzione la vedo duro.
Se esistono: intanto -
Teorema di Weierstrss:
se $f$ è definita e continua in$[a,b]$, e $f(a)*f(b)<=0$ allora
vi è almeno uno zero $\in[a,b]$.
Puoi altresì fare considerazioni qualitative, per esempio sulla monotonia...
-se $f(x_0)>0$, per esempio, ed $f$ è monotona crescente, so già che non avrò zeri per $x>x_0$.
Se $f(a)*f(b)<=0$ ed $f$ è strettamente monotona in $(a,b)$, avrò un solo zero...
Puoi "isolare" uno zero -cioè
trovare un intervallo che contenga un solo zero; e
poi procedere con metodi numerici ad approssimarlo.
Perchè, in quanto a stabilire quali, con quella funzione la vedo duro.
Se esistono: intanto -
Teorema di Weierstrss:
se $f$ è definita e continua in$[a,b]$, e $f(a)*f(b)<=0$ allora
vi è almeno uno zero $\in[a,b]$.
Puoi altresì fare considerazioni qualitative, per esempio sulla monotonia...
-se $f(x_0)>0$, per esempio, ed $f$ è monotona crescente, so già che non avrò zeri per $x>x_0$.
Se $f(a)*f(b)<=0$ ed $f$ è strettamente monotona in $(a,b)$, avrò un solo zero...
Puoi "isolare" uno zero -cioè
trovare un intervallo che contenga un solo zero; e
poi procedere con metodi numerici ad approssimarlo.
"orazioster":
Vuoi dire vedere SE esistono?
Perchè, in quanto a stabilire quali, con quella funzione la vedo duro.
Se esistono: intanto -
Teorema di Weierstrss:
se $f$ è definita e continua in$[a,b]$, e $f(a)*f(b)<=0$ allora
vi è almeno uno zero $\in[a,b]$.
Puoi altresì fare considerazioni qualitative, per esempio sulla monotonia...
-se $f(x_0)>0$, per esempio, ed $f$ è monotona crescente, so già che non avrò zeri per $x>x_0$.
Se $f(a)*f(b)<=0$ ed $f$ è strettamente monotona in $(a,b)$, avrò un solo zero...
Puoi "isolare" uno zero -cioè
trovare un intervallo che contenga un solo zero; e
poi procedere con metodi numerici ad approssimarlo.
Così infatti si vede che ha soltanto una radice negativa in $(-3,-2)$.
"orazioster":
Se esistono: intanto -
Teorema di Weierstrss:
se $f$ è definita e continua in$[a,b]$, e $f(a)*f(b)<=0$ allora
vi è almeno uno zero $\in[a,b]$.
Immagino volessi dire "Teorema di esistenza degli zeri"!

l'età mi sta regalando una meravigliosa "amnesia" -e non vuol
essere una
scusa! _hah! hah! mi fa addirittura 'piacere', mi fa ridere.