Determinare le caratteristiche di un insieme di una funzione a due variabili

[Prostaferesi]

Dire se l'insieme dei punti dove è positiva la funzione :

$ f(x,y)= (|2y+1|-2)(sqrt(5-x^2-y^2)-1) $

è aperto, chiuso limitato, connesso. Rappresentarne il grafico.

Allora il grafico (se l'ho fatto giusto) è questo:

]

Non mi basta dire che la condizione di esistenza è data da $x^2+y^2 <=5$, soddisfatta da tutti i punti del piano appartenenti al cerchio di centro l'origine e raggio $r=sqrt(5)$ (bordo compreso) e che quindi il dominio di f è un insieme chiuso? Oppure $ |2y+1|-2 $ influisce?

[Noisemaker]

la funzione col modulo è continua quindi non influisce sul dominio, che è come giustamente osservato $x^2+y^2\le5$ che è un insieme compatto, cioè chiuso e limitato, essendo $|x|\le \sqrt5,|y|\le \sqrt5.$

[Plepp]

@Prostaferesi: ma cerchi il dominio o l'insieme in cui $f$ è positiva?

[Prostaferesi]

"Plepp":@Prostaferesi: ma cerchi il dominio o l'insieme in cui $f$ è positiva?

L'insieme in cui f è positiva non dipende dal dominio?

[Plepp]

"Prostaferesi":L'insieme in cui f è positiva non dipende dal dominio?

Chiaramente è un suo sottoinsieme. Ti ho fatto questa domanda perché nel primo post parli solamente del dominio:

"Prostaferesi":
Non mi basta dire che la condizione di esistenza è data da $x^2+y^2 <=5$, soddisfatta da tutti i punti del piano appartenenti al cerchio di centro l'origine e raggio $r=sqrt(5)$ (bordo compreso) e che quindi il dominio di f è un insieme chiuso? Oppure $ |2y+1|-2 $ influisce?

Tutto qua

Comunque, l'insieme $D_+$ in cui $f$ è positiva non è aperto in $RR^2$, dato che, per esempio, $(\sqrt{5},0)\in D_+$ non è interno. Non è nemmeno chiuso perché, per esempio, $(0,1/2)$ è un punto di frontiera che non gli appartiene. Chiaro poi che $D_+$ è limitato (lo è $D$...). Infine, $D_+$ non è connesso ed ha quattro componenti connesse (i quattro insiemi colorati di rosso).