Determinare la successione definita per ricorrenza (Z-Trasformata)
Salve a tutti , ho un esercizio che mi da problemi.
Determinare la successione definita per ricorrenza dalla legge:
$\{(x(n + 1) + x(n) = (−1)^n a_n),(x(0)=1):} $
$n >= 0$
dove
$a_n=\{(0, "se n è multiplo di 3"),(1, "altrimenti"):}$
Facendo la Transformata Zeta di $(-1)^n a_n$
Si ha $Z[(-1)^n a_n]= \sum_{n=0}^infty (-1)^n a_n z^(-n)$
A questo punto non ho capito bene come ottenere delle sommatorie più semplici per poter proseguire..
Grazie alla prima condizione posso dire che per n=0 il primo termine sarà 1
Si ha $Z[(-1)^n a_n]= \sum_{n=0}^infty (-1)^n a_n z^(-n) = 1+ ...$
Determinare la successione definita per ricorrenza dalla legge:
$\{(x(n + 1) + x(n) = (−1)^n a_n),(x(0)=1):} $
$n >= 0$
dove
$a_n=\{(0, "se n è multiplo di 3"),(1, "altrimenti"):}$
Facendo la Transformata Zeta di $(-1)^n a_n$
Si ha $Z[(-1)^n a_n]= \sum_{n=0}^infty (-1)^n a_n z^(-n)$
A questo punto non ho capito bene come ottenere delle sommatorie più semplici per poter proseguire..
Grazie alla prima condizione posso dire che per n=0 il primo termine sarà 1
Si ha $Z[(-1)^n a_n]= \sum_{n=0}^infty (-1)^n a_n z^(-n) = 1+ ...$
Risposte
Ti conviene esplicitare la \((a_n)\) nella trasformata zeta.
Invero hai:
\[
a_n= \begin{cases} 0 &\text{, se } n=3k \text{ per qualche } k\in \mathbb{N}\\
1 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
e perciò:
\[
\begin{split}
\mathcal{Z}[(-1)^n a_n](z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^na_n}{z^n} \\
&= \sum_{n=1,4,7,\cdots} \frac{(-1)^n}{z^n} + \sum_{n=2,5,8,\cdots} \frac{(-1)^n}{z^n}\\
&= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{3k+1}}{z^{3k+1}} + \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{3k+2}}{z^{3k+2}}\\
&= - \frac{1}{z}\ \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{-1}{z^3}\right)^k + \frac{1}{z^2}\ \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{-1}{z^3}\right)^k\; ,
\end{split}
\]
etc...
Invero hai:
\[
a_n= \begin{cases} 0 &\text{, se } n=3k \text{ per qualche } k\in \mathbb{N}\\
1 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
e perciò:
\[
\begin{split}
\mathcal{Z}[(-1)^n a_n](z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^na_n}{z^n} \\
&= \sum_{n=1,4,7,\cdots} \frac{(-1)^n}{z^n} + \sum_{n=2,5,8,\cdots} \frac{(-1)^n}{z^n}\\
&= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{3k+1}}{z^{3k+1}} + \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{3k+2}}{z^{3k+2}}\\
&= - \frac{1}{z}\ \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{-1}{z^3}\right)^k + \frac{1}{z^2}\ \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{-1}{z^3}\right)^k\; ,
\end{split}
\]
etc...
Chiarissimo come sempre gugo82, grazie!
Ho qualche altro problemino da condividere:
$\mathcal{Z}[e^(npi/2 j +(-1)^n)](z)$
La prima parte l'ho riscritta come $(j)^n$ , ma la seconda? $e^((-1)^n)$
Altro grosso dubbio per :
$mathcal{Z}[2^(sen(npi/2))](z)$
Ho qualche altro problemino da condividere:
$\mathcal{Z}[e^(npi/2 j +(-1)^n)](z)$
La prima parte l'ho riscritta come $(j)^n$ , ma la seconda? $e^((-1)^n)$
Altro grosso dubbio per :
$mathcal{Z}[2^(sen(npi/2))](z)$
Può andare così la prima?
$\mathcal{Z}[e^(npi/2 j +(-1)^n)](z)= e*\sum_{n=0}^infty (j/z)^n + 1/e \sum_{n=0}^infty (j/z)^n$ =
$(ez)/(z-j)+z/(e(z-j))= (e^2z+z)/(e(z-j))$
$\mathcal{Z}[e^(npi/2 j +(-1)^n)](z)= e*\sum_{n=0}^infty (j/z)^n + 1/e \sum_{n=0}^infty (j/z)^n$ =
$(ez)/(z-j)+z/(e(z-j))= (e^2z+z)/(e(z-j))$
Quest'argomento mi è leggermente ostico 
Come potrei fare questa trasformata zeta?
$Z[sen(n*pi/2*(-1)^n)]$
volevo usare la trasformata
$Z[sen(n*omega)]=1/(2i) * (z/(z-e^(iomega)) - z/(z-e^(-iomega)))$
ma ottengo dinuovo il fantomatico e^((-1)^n) che non so come trattare, come si affrontano questi casi?
Grazie
Come potrei fare questa trasformata zeta?
$Z[sen(n*pi/2*(-1)^n)]$
volevo usare la trasformata
$Z[sen(n*omega)]=1/(2i) * (z/(z-e^(iomega)) - z/(z-e^(-iomega)))$
ma ottengo dinuovo il fantomatico e^((-1)^n) che non so come trattare, come si affrontano questi casi?
Grazie
Ovviamente non puoi usare quella trasformata notevole, perché \(\omega\) non deve dipendere da \(n\).
Secondo me ti conviene esplicitare la successione e fare di conto, senza pensarci sù troppo.
Secondo me ti conviene esplicitare la successione e fare di conto, senza pensarci sù troppo.
La esplicito condiderando la parte con gli $n=2k$ (pari) e la parte con gli $n=2k+1$ (dispari) che derivano dal $(-1)^n$?
Certo.
Per $n=2k$:
$ \mathcal{Z}[sen(n*pi/2*(-1)^n](z)= \sum_{k=0}^infty sen(2k*pi/2*(-1)^(2k)) z^-(2k) $
$=\sum_{k=0}^infty (sen(kpi))/ z^(2k) $ $=1/(2i)[\sum_{k=0}^infty (e^(i*pi)/z^2)^k - \sum_{k=0}^infty (e^(-i*pi)/z^2)^k]$
$=1/(2i)[1/(1+1/z^2)-1/(1+1/z^2)] = 0$
Ho provato a fare in questo modo la parte pari, ma non sono convinto, è corretto?
$ \mathcal{Z}[sen(n*pi/2*(-1)^n](z)= \sum_{k=0}^infty sen(2k*pi/2*(-1)^(2k)) z^-(2k) $
$=\sum_{k=0}^infty (sen(kpi))/ z^(2k) $ $=1/(2i)[\sum_{k=0}^infty (e^(i*pi)/z^2)^k - \sum_{k=0}^infty (e^(-i*pi)/z^2)^k]$
$=1/(2i)[1/(1+1/z^2)-1/(1+1/z^2)] = 0$
Ho provato a fare in questo modo la parte pari, ma non sono convinto, è corretto?
Ti consiglio di fare le cose per bene, non così a pezzettini... Altrimenti nei conti ti ci perdi.
Hai:
\[
\begin{split}
a_n &:= \sin \left( n\ (-1)^n \frac{\pi}{2}\right) \\
&=\begin{cases} \sin (k\pi) &\text{, se } n=2k \text{ con } k\in \mathbb{N}\\
\sin \left( - (2k+1) \frac{\pi}{2}\right) &\text{, se } n=2k+1 \text{ con } k\in \mathbb{N}
\end{cases} \\
&=\begin{cases} 0 &\text{, se } n=2k \text{ con } k\in \mathbb{N}\\
-\sin \left( \frac{\pi}{2} +k\pi \right) &\text{, se } n=2k+1 \text{ con } k\in \mathbb{N}
\end{cases}\\
&=\begin{cases} 0 &\text{, se } n=2k \text{ con } k\in \mathbb{N}\\
-(-1)^k &\text{, se } n=2k+1 \text{ con } k\in \mathbb{N}
\end{cases}\\
&=\begin{cases} 0 &\text{, se } n=2k \text{ con } k\in \mathbb{N}\\
(-1)^{k+1} &\text{, se } n=2k+1 \text{ con } k\in \mathbb{N}
\end{cases}
\end{split}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\mathcal{Z}[a_n](z) &:= \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{z^n}\\
&=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{z^{2k+1}}\\
&= - \frac{1}{z}\ \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{-1}{z^2}\right)^k\\
&= -\frac{1}{z}\ \frac{1}{1+\frac{1}{z^2}}\\
&= - \frac{z}{z^2+1}\; .
\end{split}
\]
A questo risultato si può anche arrivare considerando che la successione \(a_n\) è periodica di periodo \(4\): infatti, scrivendo esplicitamente i primi termini si vede che essa ha:
\[
\begin{split}
a_0&=0,\ a_1&=-1,\ a_2&=0,\ a_3&=1,\\
a_4&=0,\ a_5&=-1,\ a_6&=0,\ a_7&=1,\\
a_8&=0,\ a_9&=-1,\ a_{10}&=0,\ a_{11}&=1,\ldots
\end{split}
\]
dunque si può usare la formuletta apposita (che si ricava usando coscenziosamente la serie geometrica):
\[
\begin{split}
\mathcal{Z}[a_n](z) &= \frac{a_0+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+a_3z^{-3}}{1-z^{-4}}\\
&= \frac{-\frac{1}{z} +\frac{1}{z^3}}{1-\frac{1}{z^4}}\\
&= \frac{z^{\cancel{4}}}{\cancel{z^3}}\ \frac{1-z^2}{z^4-1}\\
&= z\ \frac{\cancel{1-z^2}}{\cancel{(z^2-1)}(z^2+1)}\\
&= -\frac{z}{z^2+1}\; .
\end{split}
\]
Hai:
\[
\begin{split}
a_n &:= \sin \left( n\ (-1)^n \frac{\pi}{2}\right) \\
&=\begin{cases} \sin (k\pi) &\text{, se } n=2k \text{ con } k\in \mathbb{N}\\
\sin \left( - (2k+1) \frac{\pi}{2}\right) &\text{, se } n=2k+1 \text{ con } k\in \mathbb{N}
\end{cases} \\
&=\begin{cases} 0 &\text{, se } n=2k \text{ con } k\in \mathbb{N}\\
-\sin \left( \frac{\pi}{2} +k\pi \right) &\text{, se } n=2k+1 \text{ con } k\in \mathbb{N}
\end{cases}\\
&=\begin{cases} 0 &\text{, se } n=2k \text{ con } k\in \mathbb{N}\\
-(-1)^k &\text{, se } n=2k+1 \text{ con } k\in \mathbb{N}
\end{cases}\\
&=\begin{cases} 0 &\text{, se } n=2k \text{ con } k\in \mathbb{N}\\
(-1)^{k+1} &\text{, se } n=2k+1 \text{ con } k\in \mathbb{N}
\end{cases}
\end{split}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\mathcal{Z}[a_n](z) &:= \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{z^n}\\
&=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{z^{2k+1}}\\
&= - \frac{1}{z}\ \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{-1}{z^2}\right)^k\\
&= -\frac{1}{z}\ \frac{1}{1+\frac{1}{z^2}}\\
&= - \frac{z}{z^2+1}\; .
\end{split}
\]
A questo risultato si può anche arrivare considerando che la successione \(a_n\) è periodica di periodo \(4\): infatti, scrivendo esplicitamente i primi termini si vede che essa ha:
\[
\begin{split}
a_0&=0,\ a_1&=-1,\ a_2&=0,\ a_3&=1,\\
a_4&=0,\ a_5&=-1,\ a_6&=0,\ a_7&=1,\\
a_8&=0,\ a_9&=-1,\ a_{10}&=0,\ a_{11}&=1,\ldots
\end{split}
\]
dunque si può usare la formuletta apposita (che si ricava usando coscenziosamente la serie geometrica):
\[
\begin{split}
\mathcal{Z}[a_n](z) &= \frac{a_0+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+a_3z^{-3}}{1-z^{-4}}\\
&= \frac{-\frac{1}{z} +\frac{1}{z^3}}{1-\frac{1}{z^4}}\\
&= \frac{z^{\cancel{4}}}{\cancel{z^3}}\ \frac{1-z^2}{z^4-1}\\
&= z\ \frac{\cancel{1-z^2}}{\cancel{(z^2-1)}(z^2+1)}\\
&= -\frac{z}{z^2+1}\; .
\end{split}
\]
Grazie gugo82 ! Oltre ad aver completato l'esercizio precedente ne ho fatti altri tra cui questo:
$Z[2^(sen(n*pi/2))](z)$ e grazie al fatto che anch'essa è periodica di periodo 4 l'ho risolta e mi trovo con w.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=z+ ... %2F2%29%29
Mi trovo in difficoltà però a risolverla senza usare quella proprietà delle succ. periodiche, in questo caso non dovendo distinguere i casi pari e dispari conviene esplicitare il sen con gli esponenziali?
$Z[2^(sen(n*pi/2))](z)$ e grazie al fatto che anch'essa è periodica di periodo 4 l'ho risolta e mi trovo con w.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=z+ ... %2F2%29%29
Mi trovo in difficoltà però a risolverla senza usare quella proprietà delle succ. periodiche, in questo caso non dovendo distinguere i casi pari e dispari conviene esplicitare il sen con gli esponenziali?
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