Determinare la somma di una serie numerica
Ciao a tutti! È la prima volta che scrivo su un forum, perciò è gradito ogni tipo di consiglio!
Ripassando le serie numeriche mi sono accorto che non sono capace di risolvere alcuni esercizi - che credevo - semplici!|
Per esempio:
$ sum_(n = 1)^(+oo)( 1 / ( n*(n+1) ) + (1 / 2)^n ) $
Il primo addendo è il termine generale della serie di Mengoli (che converge) e quindi il limite
$ lim_(n -> oo ) Sn = lim_(n -> oo ) (1- 1/(n+1)) = 1 $
Il secondo addento è una serie geometrica di ragione 1/2 e visto che $ |1/2| < 1 $ la serie è convergente
e la somma è $ 1 / (1 - 1 / 2) = 2 $ .
Quindi, considerando la proprietà delle serie che dice che $ sum (An +Bn) = sum An + sum Bn $ ,
posso dire che la somma delle due serie è 1+2=3.
Invece no.
La somma è 2.
Ragazzi, mi potreste dire dove dove sto sbagliando? Grazie in anticipo !
Ripassando le serie numeriche mi sono accorto che non sono capace di risolvere alcuni esercizi - che credevo - semplici!|
Per esempio:
$ sum_(n = 1)^(+oo)( 1 / ( n*(n+1) ) + (1 / 2)^n ) $
Il primo addendo è il termine generale della serie di Mengoli (che converge) e quindi il limite
$ lim_(n -> oo ) Sn = lim_(n -> oo ) (1- 1/(n+1)) = 1 $
Il secondo addento è una serie geometrica di ragione 1/2 e visto che $ |1/2| < 1 $ la serie è convergente
e la somma è $ 1 / (1 - 1 / 2) = 2 $ .
Quindi, considerando la proprietà delle serie che dice che $ sum (An +Bn) = sum An + sum Bn $ ,
posso dire che la somma delle due serie è 1+2=3.
Invece no.
La somma è 2.
Ragazzi, mi potreste dire dove dove sto sbagliando? Grazie in anticipo !
Risposte
Benvenuto tra noi. 
E' praticamente tutto giusto, c'è solo una piccola svista: da dove parte l'indice della somma? Tieni presente $sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1/(1-x)$, per $|x|<1$ (osserva che $n$ parte da zero!).
E' praticamente tutto giusto, c'è solo una piccola svista: da dove parte l'indice della somma? Tieni presente $sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1/(1-x)$, per $|x|<1$ (osserva che $n$ parte da zero!).
Vale $sum_(n=0)^(+oo) (1/2)^n= 2$, ma la tua serie parte da $1$, non da $0$
Come ha detto anche il buon Paolo90
Come ha detto anche il buon Paolo90
wow! grazie mille per essere stati così veloci nel rispondere! Più veloci dei neutrini!
È vero.. non ci avevo guardato!
Allora posso scrivere $ sum_(n = 1)^( oo )(1/2)^n = (sum_(n = 0)^(oo)(1/2)^n) - (1/2)^(0) $
e la somma sarebbe 1+1 .
Così torna! grazie mille
È vero.. non ci avevo guardato!
Allora posso scrivere $ sum_(n = 1)^( oo )(1/2)^n = (sum_(n = 0)^(oo)(1/2)^n) - (1/2)^(0) $
e la somma sarebbe 1+1 .
Così torna! grazie mille
Prego, figurati.
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