Determinare la somma di una serie
Salve a tutti!
E' da un po' che sbatto su questo esercizio, che chiede di determinare la somma della serie
$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n^2 + 3} \cdot \frac{n-1}{(n+1)!}$
Facendo le dovute considerazioni sul valore di partenza dell'indice possiamo ricondurre la somma data alla seguente:
$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot \frac{n}{(n+2)!}$
Da qui, però, ho provato diverse semplificazioni... mi viene da pensare che in qualche modo dovrei potermi ricondurre alla somma equivalente allo sviluppo di Taylor per la funzione esponenziale, ma non riesco a trovare un metodo valido.
Lumi??
Grazie!
E' da un po' che sbatto su questo esercizio, che chiede di determinare la somma della serie
$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n^2 + 3} \cdot \frac{n-1}{(n+1)!}$
Facendo le dovute considerazioni sul valore di partenza dell'indice possiamo ricondurre la somma data alla seguente:
$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot \frac{n}{(n+2)!}$
Da qui, però, ho provato diverse semplificazioni... mi viene da pensare che in qualche modo dovrei potermi ricondurre alla somma equivalente allo sviluppo di Taylor per la funzione esponenziale, ma non riesco a trovare un metodo valido.
Lumi??
Grazie!
Risposte
Prova a sommare e sottrarre $2$ al numeratore di $n/((n+2)!)$, spezza bene la frazione, semplifica, dividi le sommatorie e ricorda lo sviluppo in serie dell'esponenziale.
(Non ho fatto i conti, ma ad occhio dovrebbe funzionare.)
(Non ho fatto i conti, ma ad occhio dovrebbe funzionare.)
Ti ringrazio... ho risolto, però ponendo $n+1-2$ al termine originario!
Cioè hai sommato $-1$ ($=+1-2$) al numeratore senza compensare?
Non mi sembra una buona idea... Suggerirei di controllare meglio i passaggi.
Non mi sembra una buona idea... Suggerirei di controllare meglio i passaggi.
No, ho trasformato $n - 1$ in $n-2+1$. Poi da qui ho spezzato, diviso, semplificato eccetera...
Alla fine il risultato è...?
...giusto!
$1 - 3\mbox{e}^{-1}$
$1 - 3\mbox{e}^{-1}$
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