Determinare la derivata di una funzione integrale
Salve a tutti,
devo determinare la derivata di questa funzione F(x)
$F(x) = \int_1^(x^x) e^(t^2+t) (cos(ln(1/(sqrt(t) ))))dt$
Se ho ben capito dalla teoria, devo risolvere l'integrale in $dt$ definito negli intervalli $1$ e $x^x$ e successivamente fare la derivata della primitiva secondo la $x$, cioè $(delF(x))/(delx)$
E' questo il procedimento da seguire? Oppure ho frainteso qualcosa dal testo di teoria (che pare dedicare solo due pagine a questo particolare esercizio, ovviamente molto importante per l'esame)?
Nel caso specifico, fra l'altro, non riesco proprio a risolvere questo integrale.
$\int_1^(x^x) e^(t^2+t) (cos(ln(1/(sqrt(t) ))))dt$
Avete idee o suggerimenti?
Grazie a tutti per l'attenzione.
devo determinare la derivata di questa funzione F(x)
$F(x) = \int_1^(x^x) e^(t^2+t) (cos(ln(1/(sqrt(t) ))))dt$
Se ho ben capito dalla teoria, devo risolvere l'integrale in $dt$ definito negli intervalli $1$ e $x^x$ e successivamente fare la derivata della primitiva secondo la $x$, cioè $(delF(x))/(delx)$
E' questo il procedimento da seguire? Oppure ho frainteso qualcosa dal testo di teoria (che pare dedicare solo due pagine a questo particolare esercizio, ovviamente molto importante per l'esame)?
Nel caso specifico, fra l'altro, non riesco proprio a risolvere questo integrale.
$\int_1^(x^x) e^(t^2+t) (cos(ln(1/(sqrt(t) ))))dt$
Avete idee o suggerimenti?
Grazie a tutti per l'attenzione.
Risposte
"faximusy":
Salve a tutti,
devo determinare la derivata di questa funzione F(x)
$F(x) = \int_1^(x^x) e^(t^2+t) (cos(ln(1/(sqrt(t) ))))dt$
Se ho ben capito dalla teoria, devo risolvere l'integrale in $dt$ definito negli intervalli $1$ e $x^x$ e successivamente fare la derivata della primitiva secondo la $x$, cioè $(delF(x))/(delx)$.
Io leverei il "se": la teoria non l'hai studiata con attenzione.
Riguardati con attenzione il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale ed il Teorema di Derivazione delle Funzioni Composte.
oppure, scritto grande come una casa nel forum di analisi https://www.matematicamente.it/forum/stu ... 25340.html
ciao!
ciao!
Grazie per le risposte.
Dunque, se ho capito il link postatomi da fu^2
partendo da:
$F(x) = \int_0^(g(x))f(t)dt$
devo ricondurmi a questa formula:
$F'(x) = f[g(x)] g'(x)$
Quindi, nel mio caso, avrei:
$f[g(x)] = e^(x^(2x)) cos (ln(1/(sqrt(x^x))))$
e:
$g'(x) = (del(x^x))/(delt) = [ln(x+1)] x^x $
Quindi la soluzione sarebbe:
$F'(x) = e^(x^(2x)) cos (ln(1/(sqrt(x^x)))) [ln(x+1)] x^x $
Ho imboccato la strada giusta?
Dunque, se ho capito il link postatomi da fu^2
partendo da:
$F(x) = \int_0^(g(x))f(t)dt$
devo ricondurmi a questa formula:
$F'(x) = f[g(x)] g'(x)$
Quindi, nel mio caso, avrei:
$f[g(x)] = e^(x^(2x)) cos (ln(1/(sqrt(x^x))))$
e:
$g'(x) = (del(x^x))/(delt) = [ln(x+1)] x^x $
Quindi la soluzione sarebbe:
$F'(x) = e^(x^(2x)) cos (ln(1/(sqrt(x^x)))) [ln(x+1)] x^x $
Ho imboccato la strada giusta?
Salve,
forse c'è un'incongruenza con i dati del link.
qui,
https://www.matematicamente.it/forum/stu ... 25340.html
viene descritto come metodo risolutivo, la seguente:
$F'(x)=f[g2(x)]⋅g'2(x)-f[g1(x)]⋅g'1(x)$
Alla luce di una funzione definita in questo modo:
$F(x)=\int_(g1(x))^(g2(x))f(x)dt$
Ciò non torna con uno degli esempi proposto da Cosimo:
$F(x)=e^(-x4)+\int_0^(x^2)t^2e^(-t)dt$
di cui viene proposta la soluzione:
$F'(x)=-4x^3e^(-x^4)+2x^5e^(-x^4)=2x^3e^(-x^4)⋅(x^2-2) $
Secondo i miei calcoli, la suluzione è leggermente diversa, infatti sarebbe:
$F'(x) = -4x^3e^(-x^4) + x^4e^(-x^2) 2x = 2x^3e^(-x^2) (x^2-2e^(-x^2))$
Vi è quindi un errore di calcolo in merito a $e^(-x^2)$ o è una mia svista?
forse c'è un'incongruenza con i dati del link.
qui,
https://www.matematicamente.it/forum/stu ... 25340.html
viene descritto come metodo risolutivo, la seguente:
$F'(x)=f[g2(x)]⋅g'2(x)-f[g1(x)]⋅g'1(x)$
Alla luce di una funzione definita in questo modo:
$F(x)=\int_(g1(x))^(g2(x))f(x)dt$
Ciò non torna con uno degli esempi proposto da Cosimo:
$F(x)=e^(-x4)+\int_0^(x^2)t^2e^(-t)dt$
di cui viene proposta la soluzione:
$F'(x)=-4x^3e^(-x^4)+2x^5e^(-x^4)=2x^3e^(-x^4)⋅(x^2-2) $
Secondo i miei calcoli, la suluzione è leggermente diversa, infatti sarebbe:
$F'(x) = -4x^3e^(-x^4) + x^4e^(-x^2) 2x = 2x^3e^(-x^2) (x^2-2e^(-x^2))$
Vi è quindi un errore di calcolo in merito a $e^(-x^2)$ o è una mia svista?
"faximusy":
qui,
https://www.matematicamente.it/forum/stu ... 25340.html
viene descritto come metodo risolutivo, la seguente:
$F'(x)=f[g2(x)]⋅g'2(x)-f[g1(x)]⋅g'1(x)$
Alla luce di una funzione definita in questo modo:
$F(x)=\int_(g1(x))^(g2(x))f(x)dt$
Giusto; è conseguenza del Teorema Fondamentale e del teorema di derivazione delle funzioni composte.
"faximusy":
Ciò non torna con uno degli esempi proposto da Cosimo:
$F(x)=e^(-x4)+\int_0^(x^2)t^2e^(-t)dt$
di cui viene proposta la soluzione:
$F'(x)=-4x^3e^(-x^4)+2x^5e^(-x^4)=2x^3e^(-x^4)⋅(x^2-2) $
Si chiama Camillo.
Ad ogni modo era sbagliato il testo; quello corretto è:
[tex]$F(x)=e^{-x^4}+\int_0^{x^2}t^2e^{-t^2}\text{ d}t$[/tex]
(ho corretto anche nel thread).
Allora siano [tex]a, b[/tex] funzioni derivabili ed [tex]f[/tex] funzione definita in [tex]\mathds{R}[/tex]. Sia
[tex]F(x) = \displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt[/tex]
La funzione può essere riscritta anche come [tex]F(x) = \displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt = \displaystyle\int_{0}^{b(x)} f(t) dt - \displaystyle\int_{0}^{a(x)} f(t) dt[/tex]
Allora la derivata prima della funzione appena definita è [tex]F'(x) = f\left[b(x) \right]\cdot b'(x) - f\left[a(x) \right]\cdot a'(x)[/tex]
Riguardo al nostro esercizio, dato che [tex]b'(x)= x^x \cdot \left(ln(x) + 1 \right)[/tex], il gioco è fatto
[tex]F(x) = \displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt[/tex]
La funzione può essere riscritta anche come [tex]F(x) = \displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt = \displaystyle\int_{0}^{b(x)} f(t) dt - \displaystyle\int_{0}^{a(x)} f(t) dt[/tex]
Allora la derivata prima della funzione appena definita è [tex]F'(x) = f\left[b(x) \right]\cdot b'(x) - f\left[a(x) \right]\cdot a'(x)[/tex]
Riguardo al nostro esercizio, dato che [tex]b'(x)= x^x \cdot \left(ln(x) + 1 \right)[/tex], il gioco è fatto
Grazie Gugo; chiedo scusa a Camillo ma ho evidente scarsa memoria 
e grazie ad Aliseo, infatti mi trovo con quella semplice soluzione postata più su.
Sinceramente avendolo visto "complicato" non ho molto creduto a tanta semplicità
e grazie ad Aliseo, infatti mi trovo con quella semplice soluzione postata più su.
Sinceramente avendolo visto "complicato" non ho molto creduto a tanta semplicità
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