Determinare k in modo che una funzione sia continua
Salve ragazzi, ho avuto difficoltà nel risolvere questo esercizio, dato che ne abbiamo fatti davvero pochi durante il corso, e come succede la maggior parte delle volte, poi nell'esame la professoressa fa magie stupendoci tutti con questi esercizi.
Allora la traccia è questa: determinare k in modo che la funzione
$f(x)$ = $\{(sqrt(4-x^2)) se x<=0,((e^x - cos(sqrt(x)))/(ln(1+2x)+kx)) se x>0:}$ sia continua in x=0.
Bisogna semplicemente usare la definizione di continuità di una funzione??
grazie anticipamente
Allora la traccia è questa: determinare k in modo che la funzione
$f(x)$ = $\{(sqrt(4-x^2)) se x<=0,((e^x - cos(sqrt(x)))/(ln(1+2x)+kx)) se x>0:}$ sia continua in x=0.
Bisogna semplicemente usare la definizione di continuità di una funzione??
grazie anticipamente
Risposte
scusate ma non capisco perchè non sia riuscito a scrivere se x<=0 e se x>0....ma me li ha attaccati. 
Questo è un esercizio standard, quindi sta a te spiegare dove trovi difficoltà. 
a me verrebbe di controllare se $lim_(x->x_0)(f(x))$ è uguale a $f(x_0)$. E in questo caso quindi, visto che parliamo del punto x=0, andiamo a prendere solo il primo fattore, cioè $sqrt(4-x^2)$ e calcoliamo il limite in x che tende a 0 e vediamo se è uguale a $f(x_0)$, ovvero a $f(0)$. Sbagliato?? Ora che c'entra il fattore dove compare la k?
E come lo calcoli il limite \(\lim_{x\to 0} f(x)\)?
Visto che hai due espressioni differenti di \(f\) a sinistra e destra di zero, devi calcolare sicuramente:
\[
\lim_{x\to 0^+} f(x) \qquad \text{e} \qquad \lim_{x\to 0^-} f(x)
\]
e controllare se essi sono uguali a \(f(0)\).
Visto che hai due espressioni differenti di \(f\) a sinistra e destra di zero, devi calcolare sicuramente:
\[
\lim_{x\to 0^+} f(x) \qquad \text{e} \qquad \lim_{x\to 0^-} f(x)
\]
e controllare se essi sono uguali a \(f(0)\).
si, verificati che sono uguali i due limiti e a loro volta uguali a $f(0)$, uguali a 2.
Ma non direi proprio...
e allora mi sa che mi sono bloccato brutto...
Beh, il limite:
\[
\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{e^x-\cos \sqrt{x}}{\ln (1+2x)+kx}
\]
si presenta in forma indeterminata \(\frac{0}{0}\) e si risolve usando Taylor e distinguendo un paio di casi a seconda del valore di \(k\).
Comincia a risolvere questo limite, poi al resto ci pensiamo dopo.
\[
\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{e^x-\cos \sqrt{x}}{\ln (1+2x)+kx}
\]
si presenta in forma indeterminata \(\frac{0}{0}\) e si risolve usando Taylor e distinguendo un paio di casi a seconda del valore di \(k\).
Comincia a risolvere questo limite, poi al resto ci pensiamo dopo.
ah ora inizio a capire, scusa ma il sistema di mi metteva in difficolta...perfetto inizio. grazie
se non procedo male dovremmo trovarci cosi $((3/2)x - (11/24)x^2)/(x(2-2x-k))$
"tinuzzo86":
se non procedo male dovremmo trovarci cosi $((3/2)x - (11/24)x^2)/(x(2-2x-k))$
"Dovremmo trovarci così" cosa? Dopo quali passaggi?
Se scrivi qualcosa, cerca di scriverla bene.
Inoltre, adesso vedi da te che il risultato del limite destro dipende pesantemente dal valore dato a $k$, quindi che si fa adesso?
utilizzando tylor sconpongo $(e^x)=(1 + x + (x^2)/2)$, $cos(sqrtx) = (1 - x/2 + (x^2)/24)$ e $log(1+2x) = (2x-2x^2)$ . risolvendo il vari calcoli mi trovo a dover calcolare il $lim_(x->0+)((3/2(x) - 11/24(x^2))/(x(2-2x-k))$.
quindi per essere continua deve essere uguale a limite sinistro. quindi basterà porre questo limite uguale al risultato del limite sinistro, cioè 2?
quindi per essere continua deve essere uguale a limite sinistro. quindi basterà porre questo limite uguale al risultato del limite sinistro, cioè 2?
Certo.
Ma bisogna stabilire prima quale sia il risultato del limite.
Ma bisogna stabilire prima quale sia il risultato del limite.
allora il risultato del limite è $3/(4-2k)$. ora ponendo $(3/(4-2k))=2$, ottengo $k=-(5/4)$.
"tinuzzo86":
allora il risultato del limite è $3/(4-2k)$.
Se \(k\neq 2\), altrimenti che succede...
Il resto è OK.
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