Determinare insieme, correzione esercizio svolto

[Sk_Anonymous]

ciao, ho svolto il seguente esercizio in cui si chiede di determinare l'insieme e stabilire se è aperto, chiuso ecc...
$A={x in RR : |ln(1-x)^2|<=2}$

calcolo il CE: $1-x>0->x<1$

poi determino: $|ln(1-x)^2|<=2$ -> $ln(1-x)^2<=ln e^2$ -> $(1-x)^2<= e^2$ -> $x^2-2x+1-e^2<=0$
questa equazione ha soluzioni: $x=1+-e$
quindi mettendo insieme le condizioni ottengo: $A={x in RR:x>1+e}=$]$1+e, +oo$[
l'insieme è aperto, illimitato, inf$={1+e}$, sup$=+oo$, min e max non esistono.

non ho risultato e spero che possiate confermare / correggere i miei passaggi. grazie

edit: ho provato a studiare un altro esercizio simile ma con una successione:
$a_n=1/n+n-sqrt(n^2+1)$
ho trovato il CE: $n !=0$ e $n^2+1>0 -> n<-1 vv n>1$
ma non riesco a continuare come ho fatto nell'esercizio precendete , spero in qualche suggerimento.

[Palliit]

Ciao.

Nel primo hai del tutto ignorato il modulo e sbagliato il campo di esistenza, che richiede soltanto $x!=1$ in quanto $(1-x)^2>0$__$ forall x!=1$: la disequazione__$|ln(1-x)^2|<=2$__diventa:__$-2<=ln(1-x)^2<=+2$__$\Rightarrow$__$-1<=ln|1-x|<=1$__$\Rightarrow$__$e^(-1)<=|1-x|<=e$__, che a questo punto conviene trasformare in sistema:

[tex]\left\{\begin{matrix}
|1-x|\geq e^{-1}\\


|1-x|\leq e\end{matrix}\right.[/tex]__$\rightarrow$__[tex]\left\{\begin{matrix}
1-x\geq -e^{-1}\vee 1-x\leq e^{-1}\\


-e\leq 1-x \leq e\end{matrix}\right.[/tex]. Risolvi, imponi la condizione di esistenza e trovi la soluzione.

Sul secondo non ho capito cosa dovresti fare. Sicuramente non risolvere la disequazione $1+n^2>=0$ in quel modo...

[Sk_Anonymous]

"Palliit":Ciao.

Nel primo hai del tutto ignorato il modulo e sbagliato il campo di esistenza, che richiede soltanto $x!=1$ in quanto...

grazie mille per aver risposto,
ho sbagliato in pieno il valore assoluto (pensavo che il quadrato manteneva l'argomento sempre positivo invece di esplicitarlo)
vado a rifare l'esercizio.

Il secondo è lo stesso esercizio: data la successione $a_n$ stabilire inf${a_n}$, sup${a_n}$, dire se ${a_n}$ ammette min e/o max e dire se l'insieme ${a_n}_n in NN$ ammette punti di accumulazione.
Il procedimento che uso per risolvere questi esercizi (come ho fatto anche nel primo) è trovare il CE, trasformare la disequazione per ottenerne le soluzioni da mettere a sistema con il CE ed ottenere l'insieme.

Il problema è che invece della disequazione ho una successione e non posso trovarne le "soluzioni", non so come comportarmi.
grazie ancora per l'aiuto

[Sk_Anonymous]

"Palliit":[tex]\left\{\begin{matrix}
1-x\geq -e^{-1}\vee 1-x\leq e^{-1}\\

-e\leq 1-x \leq e\end{matrix}\right.[/tex]. Risolvi, imponi la condizione di esistenza e trovi la soluzione.

ho rifatto l'esercizio e mi è risultato come il tuo, non ho semplificato il 2 ma è uguale. grazie

sorvolando la successione, ho provato un altro esercizio che non dovrebbe essere complicato ma non riesco a trasformare la disequazione :

$A={x in RR : (x+4)^(ln^2x-1)>=1}$

calcolo il CE: $ln^2x-1>0 -> ln^2x>1 => x>0$

e poi ho provato a trasformare la disequazione in questo modo:

$(x+4)^(ln^2x-1)>=1 -> e^((ln^2x-1)*ln(x+4))>=e^ln1 -> (ln^2x-1)*ln(x+4)>=ln1$

ma se "tolgo" i logaritmi ritorno alla forma originale e così non vedo come continuare ,
qualche idea?
grazie

[jitter1]

... continuo con la seconda, ma non sono sicura che sia necessaria tutta questa pappardella, quindi chiedo la supervisione di palliit ( 9) o di altri.

1) $n^2 + 1$ è sempre positivo.

2) - La successione $a_n$ risulta strettamente decrescente, quindi il suo estremo inferiore sarà il limite della successione per n tendente a infinito (giusto?).
$ a_n $ si può scrivere come $(n^2 + 1)(1/n - 1/sqrt(n^2 + 1))$, che risulta $> 0 AA n$, cioè $0 < a_n$.

Inoltre $1/n + n - sqrt(n^2 +1) < 1/n$.

Quindi, per il teorema degli sbirri, siccome $0 < a_n < 1/n$, passando al limite, risulta che il limite di $a_n$ è 0. Perciò 0 è l'estremo inferiore.

- Considerando ancora che $a_n$ decresce, raggiungerà il suo massimo per n = 1. Si ha $a_1 = 2 - sqrt(2)$.

Se tu avessi una successione non monotona, non so se esiste un metodo fisso, o se si va per confronti.

- L'unico punto di accumulazione direi $+oo$

[Palliit]

@jitter: ciao, a me sembra tutto giusto, tranne l'ultima osservazione: posso sbagliare, ma l'unico punto di accumulazione di ${a_n}$ io direi che è $0$, non $+oo$.

@Aquila12: ciao, hai di nuovo fatto un po' di casino...
Il campo di esistenza di un'espressione esponenziale prevede che la base sia positiva, l'esponente può essere quel che si vuole, fermo restando il fatto che qua ad esponente c'è un logaritmo che quindi pretende un argomento positivo.
Per il C.E. io metterei:

[tex]\left\{\begin{matrix}
4+x>0\\

x>0\end{matrix}\right.[/tex]__$\rightarrow$__$x>0$ ;__a questo punto scrivi la disequazione nella forma:__$(4+x)^(\ln^2x-1)>=(4+x)^0$__, consideri

che la base è sicuramente maggiore di $1$ per via del C.E. e passi alla corrispondente diseguaglianza tra gli esponenti.

[Sk_Anonymous]

"Palliit":@Aquila12: ciao, hai di nuovo fatto un po' di casino...
Il campo di esistenza di un'espressione esponenziale prevede che la base sia positiva, l'esponente può essere quel che si vuole, fermo restando il fatto che qua ad esponente c'è un logaritmo che quindi pretende un argomento positivo.
Per il C.E. io metterei:

[tex]\left\{\begin{matrix}
4+x>0\\

x>0\end{matrix}\right.[/tex]__$\rightarrow$__$x>0$ ;__a questo punto scrivi la disequazione nella forma:__$(4+x)^(\ln^2x-1)>=(4+x)^0$__, consideri

che la base è sicuramente maggiore di $1$ per via del C.E. e passi alla corrispondente diseguaglianza tra gli esponenti.

si giustissimo, la base $>0$, ricordavo male
ho continuato l'esercizio ma ottengo un risultato un pò strano:

$ln^2x>=1$
$ ->ln^2x>=lne $
sostituisco $[t=lnx] -> t^2>=e$
$-> -sqrte <= t <= sqrte $
$-> -sqrte <= lnx <= sqrte$

che risolvo: $ lne^(-sqrte) <= lnx <= lne^(sqrte) $
$-> e^(-sqrte) <= x <= e^(sqrte)$

edit: insieme errato

grazie per i suggerimenti

[Palliit]

$ln^2 x>=1$__$\Rightarrow$__$ln x<=-1 \vee ln x>=1$__$\Rightarrow$__$0=e$.

[Sk_Anonymous]

"Palliit":[-X

$ln^2 x>=1$__$\Rightarrow$__$ln x<=-1 \vee ln x>=1$__$\Rightarrow$__$0=e$.

così semplice?
ok quindi l'insieme è ]$0,e^-1$[ $uu$ ]$e, +oo$[
illimitato ed i punti di accumulazione dovrebbero essere: ${0<=x<=e^(-1) ^^ x>=e}$

finito!

[Palliit]

$"]"0,e^-1$] $uu$ [$e, +oo[$

[Sk_Anonymous]

"Palliit":$"]"0,e^-1$] $uu$ [$e, +oo[$

sisi giusto, la fretta
grazie per tutto l'aiuto

[Palliit]

Prego, ciao