Determinare \( \inf(B/A_{> 0}) \)

[marco2132k]

Ciao. Siano \( A \), \( B \) sottoinsiemi non vuoti della retta reale, con \( A \) limitato superiormente e \( B \) limitato inferiormente; sia per almeno un \( a'>0 \), \( a'\in A \). Dico che \( \inf(B/A_{> 0})=\inf{B}/\sup{A} \). (Ovviamente con \( A_{> 0} \) intendo \( R_{> 0}\cap A \)).

Non sono sicuro della validità di quest'affermazione: ne ho bisogno per un esercizio che non credo sia necessario perdere tempo a riportare.

Però la cosa mi sembra "geometricamente" chiara: il più piccolo "\( b/a \)" è dato dal più piccolo "elemento di \( B \)" fratto il più grande "elemento di \( A \)", se quest'ultimo è \( >0 \).

Riesco a fornire una dimostrazione di questo fatto solo appesantendo le ipotesi: devo richiedere che \( A\leqq B\) (questa richiesta non intacca l'altro esercizio, che è fatto sotto questa condizione).

Dimostrazione: Che \( \inf{B}/\sup{A} \) sia minorante per l'insieme mi sembra evidente. Ho provato a dimostrare che ogni \( x \) maggiore di \( \inf{B}/\sup{A} \) non è minorante per \( B/A_{> 0} \). L'idea[nota]In modo simile si dimostra che \( \inf(B-A)=\inf{B}-\sup{A} \), più o meno.[/nota] è di considerare \( \epsilon > 0 \): allora, presi \( \inf{B}\epsilon \) e \( \sup{A}(1/\epsilon) \), esistono rispettivamente[nota]Se \( \alpha=\sup{A} \) allora \( \alpha=\sup{A_{> 0}} \).[/nota][nota]L'ipotesi \( A\leqq B \) mi garantisce che \( \inf{B} \) e \( \sup{A} \) siano entrambi maggiori di zero.[/nota] \( b'\in B \) e \( a'\in A_{> 0} \) che
\[
\begin{split}
b'&<\inf{B}\cdot\epsilon \\
\sup{A}\cdot\frac{1}{\epsilon} & \end{split}
\]
allora
\[
\frac{b'}{a'}<\frac{\inf{B}}{\sup{A}}\cdot\epsilon^2
\]

Ora, se per un qualsiasi reale \( 0<\gamma \) è \( \gamma0 \): infatti, se considero \( \delta=\sqrt[n]{x/\gamma} \), è \( x = \gamma\cdot\delta^n \). Allora considerato un qualsiasi \( x \) maggiore di \( \inf{B}/\sup{A} \) esiste \( b/a\in B/A_{> 0} \) che \( b/a
Ora, oltre a chiedermi se quanto sopra possa considerarsi corretto, non sono per nulla convinto della necessità di introdurre \( A\leqq B \) nelle ipotesi (con questa dimostrazione è necessario, altrimenti non moltiplico per \( \epsilon\) a piacimento). Quindi, si può togliere?

[marco2132k]

Uppo. In realtà ho notato una falla, riprendendo la cosa. Assumere \( 00 \), come numero maggiore di \( \inf{B} \); è quindi pregiudicata l'esistenza di quel \( b'\in B \), e quindi in definitiva dell'elemento di \( B/A_{> 0} \), \( b'/a' \), minore di \( (\inf{B}/\sup{A})\cdot\epsilon^2 \).

[Platone2]

"marco2132k":

Però la cosa mi sembra "geometricamente" chiara: il più piccolo "\( b/a \)" è dato dal più piccolo "elemento di \( B \)" fratto il più grande "elemento di \( A \)", se quest'ultimo è \( >0 \).

Riesco a fornire una dimostrazione di questo fatto solo appesantendo le ipotesi: devo richiedere che \( A\leqq B\)
[...]
non sono per nulla convinto della necessità di introdurre \( A\leqq B \) nelle ipotesi (con questa dimostrazione è necessario, altrimenti non moltiplico per \( \epsilon\) a piacimento). Quindi, si può togliere?

Direi proprio di no. Infatti la tua prima affermazione sopra riportata è in generale falsa. Considera \(B=(-1,1) \) e \( A=A_{>0}=(0,1)\).
Si ha che \(\inf B = -1 \), \(\sup A = 1\) (quindi \( \inf B / \sup A=-1\) ), ma \( \inf(B/A)=-\infty \).

[marco2132k]

Grazie per la risposta!

"Platone":Direi proprio di no.

In effetti credo di essermi convinto che il claim regge solo sotto l'ipotesi di positività degli elementi di \( B \).

Riporto una soluzione per completezza. Se \( A\cap\mathbb{R}_{>0}\neq\emptyset \) e \( 0

Cita

Segnala