Determinare Inf(A) e Sup(A)

[Manu952]

Ciao ragazzi, mi trovo di fronte a questo esercizio

Esprimere l'insieme $ A={x in R: (x^2-4x)^2<25} $ come unione di intervalli. Determinare l'inf ed il sup di A specificando se si tratta di min e max di A.

Ho pensato di operare andando prima a risolvere la disequazione e vedendo quali sono le x per le quali è valida quella relazione, ma come soluzione non trovo intervalli di valori ma un unico intervallo (-1
Il procedimento è giusto oppure ho sbagliato approccio?
In caso fosse corretto, come faccio ad esprimere le soluzioni come unione di intervalli?

Grazie in anticipo

[anto_zoolander]

Intanto l'insieme $A={x inRR:(x^2-4x)^2<25}$ è un intervallo del tipo $(a,b)$ quindi $AsubsetRR$ ovvero un sottoinsieme della retta reale. Come hai trovato tu, l'insieme può anche essere così espresso:

$A={x inRR:-1
Questo insieme ha $Sup=5$ e $Inf=-1$. In particolare non ha massimo o minimo, poiché l'insieme è aperto.
Il secondo punto di essere espresso come unione di intervalli. Ti porto un esempio:

$(-1,a_1]cup(a_1,a_2]cup(a_2,a_3]cup...cup(a_(j-1),a_(j)]cup(a_j,5)$

impongo che sia $-1leqa_(j-1)
$(a_n,5)cupbigcup_(j=1)^(n)I_j$ dove $I_j=(a_(j-1),a_(j)]: {(I_1=(-1,a_1]),(I_2=(a_1,a_2]),(...),(I_j=(a_(j-1),a_j)):}$

ad esempio $(a_(2),5)cupbigcup_(j=1)^(2)I_j=(-1,a_1]cup(a_1,a_2]cup(a_2,5)$

Risulta anche essere una partizione di $A$.

Infatti $(a_(n),5)cupbigcup_(j=1)^(n)I_j=A$ e $I_jcapI_k=emptyset,foralljnek$

[axpgn]

Anto, non esagerare ... $a_j=5$ non si può vedere ... ogni tanto, rallenta ...

[anto_zoolander]

Ahahahahah è vero, non piace nemmeno a me.

Edit: ok ora dovrebbe andare.

[Manu952]

"anto_zoolander":Intanto l'insieme $A={x inRR:(x^2-4x)^2<25}$ è un intervallo del tipo $(a,b)$ quindi $AsubsetRR$ ovvero un sottoinsieme della retta reale. Come hai trovato tu, l'insieme può anche essere così espresso:

$A={x inRR:-1
Questo insieme ha $Sup=5$ e $Inf=-1$. In particolare non ha massimo o minimo, poiché l'insieme è aperto.
Il secondo punto di essere espresso come unione di intervalli. Ti porto un esempio:

$(-1,a_1]cup(a_1,a_2]cup(a_2,a_3]cup...cup(a_(j-1),a_(j))$

impongo che sia $-1leqa_(j-1)
$(a_n,5)cupbigcup_(j=1)^(n)I_j$ dove $I_j=(a_(j-1),a_(j)]: {(I_1=(-1,a_1]),(I_2=(a_1,a_2]),(...),(I_j=(a_(j-1),a_j)):}$

ad esempio $(a_(2),5)cupbigcup_(j=1)^(2)I_j=(-1,a_1]cup(a_1,a_2]cup(a_2,5)$

Risulta anche essere una partizione di $A$.

Infatti $(a_(n),5)cupbigcup_(j=1)^(n)I_j=A$ e $I_jcapI_k=emptyset,foralljnek$

Perfetto, grazie mille.

Un'ultima domanda: perchè $ a_j=5 $ non andava bene?

[anto_zoolander]

Era la cosa più brutta potesse esistere. Anche perché c'era una condizione in conflitto.

Avevo definito $I_j=(a_(j-1),a_j)$ e poi definito $a_j=5$ e poi avevo definito l'ultimo intervallo come $(a_j,5)$

quindi avrei avuto: $(-1,a_1]cup(a_1,a_2]cup...cup(a_(j-1),5]cup(5,5)$

mi viene l'ultimo insieme chiuso, cosa che non è possibile.

Edit: toglierei la scritta $a_jinRR$ poiché comunque ho definito $-1leqa_(j-1)
questo vuol dire $-1leqa_0
In particolare il primo deve essere $-1$, ragion per cui ho definito $a_0=-1$
Potrebbe non piacere la condizione $a_0=-1$ in quel caso si potrebbero scrivere:

$A=(-1,a_0]cupbigcup_(j=1)^(n)I_jcup(a_n,5)$

Naturalmente tutte le condizioni slitterebbero:

$-1
in questo caso, ovviamente, non ho definito $a_0$

[Manu952]

"anto_zoolander":Era la cosa più brutta potesse esistere. Anche perché c'era una condizione in conflitto.

Avevo definito $I_j=(a_(j-1),a_j)$ e poi definito $a_j=5$ e poi avevo definito l'ultimo intervallo come $(a_j,5)$

quindi avrei avuto: $(-1,a_1]cup(a_1,a_2]cup...cup(a_(j-1),5]cup(5,5)$

mi viene l'ultimo insieme chiuso, cosa che non è possibile.

Edit: toglierei la scritta $a_jinRR$ poiché comunque ho definito $-1leqa_(j-1)
questo vuol dire $-1leqa_0
In particolare il primo deve essere $-1$, ragion per cui ho definito $a_0=-1$
Potrebbe non piacere la condizione $a_0=-1$ in quel caso si potrebbero scrivere:

$A=(-1,a_0]cupbigcup_(j=1)^(n)I_jcup(a_n,5)$

Naturalmente tutte le condizioni slitterebbero:

$-1
in questo caso, ovviamente, non ho definito $a_0$

Magnifico, tutto chiaro!

Grazie mille per l'aiuto!

[Fioravante Patrone1]

anto_zoolander, nota quanto segue:

]0,1[ può essere espresso come unione di intervalli aperti? Sì: ]0,1[ = ]0,1[