Determinare in una successione

[keyz]

Buongiorno, complimenti per prima cosa per il lavoro che svolgete! Mi siete risultati veramente molto utili in tantissime occasioni!

Sto studiando le successioni e mi sono imbattuto in un esercizio che mi ha creato non pochi quesiti, che non riesco ben a soddisfare con la teoria.

Questo è l'esercizio:
Data la successione (an):
\(\displaystyle (an)= (-1)^n [(2n+1)/(2n-1)] \)
- Determinare quando è a) Limitata, b) Convergente, c) Monotona, d) A termini definitivamente negativi.

Allora io mi son detto, inizio a determinare se la successione è convergente cosi scopro se è anche limitata.
Ho studiato quindi le due sottosuccessioni $a_2n$ e $a_(2n-1)$
E ho scoperto che la sottosuccessione dei termini pari viene uguale a 1 e la sottosuccessione dei termini dispari invece viene uguale a -1, quindi non dovrebbe essere convergente. Quindi mi son detto che non è questa la strada per vedere se è limitata.


Controllo se è monotona, quindi ho controllato se la successione era monotona crescente e quindi ho fatto:
$a_n$ \(\displaystyle \leq \) $a_(n+1)$ e ho nuovamente riconsiderato le sottosuccessioni:
- la sottosuccessione dei termini pari veniva: \(\displaystyle n < -1/2 \)
- la sottuccessione dei termini dispari veniva: \(\displaystyle n \geq 0 \)

Arrivato a questo punto mi sono fermato perché non ho capito cosa e come utilizzare questi risultati per determinare la monotonia.

Trovando se la successione è monotona posso dire che è anche limitata, giusto?

Grazie per l'attenzione, spero di aver scritto tutto in maniera corretta.

[Studente Anonimo]

"keyz23":
Determinare quando è ...

Probabilmente intendevi scrivere "se" e non "quando". Ad ogni modo, la successione è limitata. Inoltre, non è convergente, non è monotòna e non è a termini definitivamente negativi.

"keyz23":
Trovando se la successione è monotona posso dire che è anche limitata, giusto?

Assolutamente no.

[keyz]

Si ovviamente volevo dire se è convergente, limitata e monotona!
Potresti gentilmente spiegarmi come hai fatto a dire che non è monotòna e che è, invece, limitata?
Grazie

[Studente Anonimo]

Intuitivamente, visto che la successione è a segni alterni, non si comprende come possa essere monotòna. Più rigorosamente:

$[a_(n+1)gta_n] rarr [(-1)^(n+1)(2n+3)/(2n+1)gt(-1)^n(2n+1)/(2n-1)]$

manifestamente falsa se $n$ è pari;

$[a_(n+1)lta_n] rarr [(-1)^(n+1)(2n+3)/(2n+1)lt(-1)^n(2n+1)/(2n-1)]$

manifestamente falsa se $n$ è dispari. Per dimostrare che è limitata, basta provare che:

$[EE M in RR^+] ^^ [EE barn in NN] : AA n gt barn rarr |(-1)^n(2n+1)/(2n-1)|ltM$

Insomma, è necessario che la seguente disequazione:

$|(-1)^n(2n+1)/(2n-1)|ltM rarr |(2n+1)/(2n-1)|ltM rarr (2n+1)/(2n-1)ltM$

ammetta soluzioni del tipo $[n gt barn]$ per un qualche $barn$ e per un qualche $M$.