Determinare immagine.
La funzione è molto semplice: $f(x)=1/(x^2+1)$ ; intuitivamente è molto facile capire che i numeri che si possono ottenere da quella funzione sono tutti "schiacciati" tra 0 e 1; tuttavia,
1)come faccio a dimostrarlo analiticamente?
Il libro risolve in tre passaggi: poiché $x^2$ ha immagine $R_+$ , $x^2+1$ ha immagine $[1, infty)$ , allora "passando al reciproco" l'immagine è $(0;1]$ .
2)Che rapporto c'è tra l'immagine di $f$ e quella di $1/f$ ?
1)come faccio a dimostrarlo analiticamente?
Il libro risolve in tre passaggi: poiché $x^2$ ha immagine $R_+$ , $x^2+1$ ha immagine $[1, infty)$ , allora "passando al reciproco" l'immagine è $(0;1]$ .
2)Che rapporto c'è tra l'immagine di $f$ e quella di $1/f$ ?
Risposte
La funzione $1/x$ "rivolta" l'asse reale come se fosse un calzino, tenendo fissi i punti $1, -1$ e scambiando lo zero con l'infinito.
Questa è l'immagine intuitiva: ti anticipo che essa diventa ancora più vivida quando consideri la funzione di variabile complessa $1/z$, e in quest'ultimo caso si può anche rendere rigorosa.
Restando in ambito reale, possiamo dire in modo rigoroso che
${(01), (-11/y):}$;
la dimostrazione è una banalità se ti ricordi la proprietà delle disequazioni di "invertire il verso" quando si passa al reciproco, e il fatto ovvio che il reciproco di $1$ è $1$. Sostituendo opportunamente $y=f(x)$, dalle precedenti disuguaglianze si ottengono tutte le risposte che ti servono.
Questa è l'immagine intuitiva: ti anticipo che essa diventa ancora più vivida quando consideri la funzione di variabile complessa $1/z$, e in quest'ultimo caso si può anche rendere rigorosa.
Restando in ambito reale, possiamo dire in modo rigoroso che
${(0
la dimostrazione è una banalità se ti ricordi la proprietà delle disequazioni di "invertire il verso" quando si passa al reciproco, e il fatto ovvio che il reciproco di $1$ è $1$. Sostituendo opportunamente $y=f(x)$, dalle precedenti disuguaglianze si ottengono tutte le risposte che ti servono.
Tutto chiaro, grazie mille!
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