Determinare il paramentro di convergenza serie.
Buongiorno
ho la seguente serie numerica, che mi chiede di determinare per quali valori di $x$ la serie numerica risulta essere convergente;
$sum_1^infty(x^nlogx^n).$
Procedo cosi:
1. c.e. log. ${x in mathbb{R}: x>0}$
la serie risulta essere una serie a termini positivi, per cui applico il criterio del confronto.
Essendo che $logx le x $ per ogni $x > 0$, si ha per induzione $logx^n le x^n$, allora $0 le x^nlogx^n le x^(2n)$
quindi il termine generale della nuova serie è $b_n=x^(2n)$, la quale "presumo" risulta essere una serie geometrica di ragione $x^2$.
La serie geometrica risulta essere convergente per $|x^2|<1 to -1
Il risultato sul libro è $0
Eh beh, direi proprio di sì...
Per la serie proposta poi secondo me ti stai facendo (come al solito... ) troppi problemi.
Infatti, basta applicare una ben nota proprietà dei logaritmi e si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n logx^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} n x^n logx = log x \sum_{n = 1}^{+\infty} n x^n = \frac{x log x}{(x - 1)^2} $
per $0 < x < 1 $. Quindi in definitiva si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n logx^n = {(0 \qquad \qquad \text{ per } x = 1),(\frac{x log x}{(x - 1)^2} \text{ per } 0 < x < 1):} $
ho la seguente serie numerica, che mi chiede di determinare per quali valori di $x$ la serie numerica risulta essere convergente;
$sum_1^infty(x^nlogx^n).$
Procedo cosi:
1. c.e. log. ${x in mathbb{R}: x>0}$
la serie risulta essere una serie a termini positivi, per cui applico il criterio del confronto.
Essendo che $logx le x $ per ogni $x > 0$, si ha per induzione $logx^n le x^n$, allora $0 le x^nlogx^n le x^(2n)$
quindi il termine generale della nuova serie è $b_n=x^(2n)$, la quale "presumo" risulta essere una serie geometrica di ragione $x^2$.
La serie geometrica risulta essere convergente per $|x^2|<1 to -1
Il risultato sul libro è $0
Risposte
Se \(x<1\) il logaritmo è negativo.
Ciao galles90,
A parte la corretta osservazione di dissonance, se il tuo problema è in $x = 1 $ si vede subito che per $x = 1 $ la serie proposta converge a $0 $...
A parte la corretta osservazione di dissonance, se il tuo problema è in $x = 1 $ si vede subito che per $x = 1 $ la serie proposta converge a $0 $...
Ciao,
dissonance, mi stai dicendo che dovrei applicare il criterio di convergenza assoluta, in quanto
$|x^nlogx^n|le|x^(2n)|$ quindi studiare questa $sum_1^infty |x^(2n)|$
la quale presumo sia una serie geometrica.
pilloeffe, invece mi stai dicendo che in alcuni casi ci vuole un pò di occhio clinico
?
dissonance, mi stai dicendo che dovrei applicare il criterio di convergenza assoluta, in quanto
$|x^nlogx^n|le|x^(2n)|$ quindi studiare questa $sum_1^infty |x^(2n)|$
la quale presumo sia una serie geometrica.
pilloeffe, invece mi stai dicendo che in alcuni casi ci vuole un pò di occhio clinico
?
Non lo so. Io sto dicendo solo che, quando dici "la serie proposta è a termini positivi", dici una cosa non del tutto corretta.
Si come mi hai fatto notare la serie non è a termini positivi.
Si ha $forall n in mathbb{N}$
\(\displaystyle a_n=\begin{cases} a_n \ge 0, & \mbox{se }x \ge 1\\ a_n<0, & \mbox{se }x<1 \end{cases} \)
Noi siamo interessati per valori di $x$ per i quali la serie converge, non per i valori di $x$ per i quali la serie risulta essere di segno positivo ?
Perchè qualora fosse di segno variabile, ci sono criteri adatti a questo ?
Si ha $forall n in mathbb{N}$
\(\displaystyle a_n=\begin{cases} a_n \ge 0, & \mbox{se }x \ge 1\\ a_n<0, & \mbox{se }x<1 \end{cases} \)
Noi siamo interessati per valori di $x$ per i quali la serie converge, non per i valori di $x$ per i quali la serie risulta essere di segno positivo ?
Perchè qualora fosse di segno variabile, ci sono criteri adatti a questo ?
"galles90":
pilloeffe, invece mi stai dicendo che in alcuni casi ci vuole un pò di occhio clinico
Eh beh, direi proprio di sì...
Per la serie proposta poi secondo me ti stai facendo (come al solito...
) troppi problemi.Infatti, basta applicare una ben nota proprietà dei logaritmi e si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n logx^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} n x^n logx = log x \sum_{n = 1}^{+\infty} n x^n = \frac{x log x}{(x - 1)^2} $
per $0 < x < 1 $. Quindi in definitiva si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n logx^n = {(0 \qquad \qquad \text{ per } x = 1),(\frac{x log x}{(x - 1)^2} \text{ per } 0 < x < 1):} $
Scusami pilloeffe, ma non mi è chiaro quello che hai scritto.
questo valore $(xlogx)/(x-1)^2$ è la somma della serie per $0
Se si come hai fatto, se la serie risulta essere a termini non positivi per $x<1$
Ciao
questo valore $(xlogx)/(x-1)^2$ è la somma della serie per $0
Se si come hai fatto, se la serie risulta essere a termini non positivi per $x<1$
Ciao
Pilloeffe ha notato che $nx^n=n \cdot \frac{x}{x}x^n=nx \cdot x^{n-1}$, perciò portando fuori la $x$ dalla serie si ha a che fare con
$$x \ln x \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\text{d}}{\text{d}x} (x^n)$$
Poi ha scambiato derivata e serie (perché può farlo?) ed ha notato che si tratta di una serie geometrica (mancante di cosa?).
$$x \ln x \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\text{d}}{\text{d}x} (x^n)$$
Poi ha scambiato derivata e serie (perché può farlo?) ed ha notato che si tratta di una serie geometrica (mancante di cosa?).
Non voglio sbagliarmi, ma la serie di pilloeffe, è qualcosa che riguarda analisi 2 anzichè analisi 1.
Inoltre la serie che ho proposto l'ho trovata su un libro di analisi 1, questi tipi di svolgimento, in particolare con l'operatore di derivata all'interno della serie, non l'ho mai visto finora, detto ciò mi sento perso
Inoltre la serie che ho proposto l'ho trovata su un libro di analisi 1, questi tipi di svolgimento, in particolare con l'operatore di derivata all'interno della serie, non l'ho mai visto finora, detto ciò mi sento perso
Beh sì, solitamente non si affrontano ad analisi 1. Quindi puoi tranquillamente fermarti allo studio della convergenza, senza calcolarne la somma, considerando la convergenza assoluta e proseguendo come hai già fatto 
Allora implicitamente mi stai dicendo che ho fatto bene ?? 
Onestamente no, intendo "no" nel senso che: il criterio del confronto si applica per serie definitivamente positive.
Perciò, come ti ha fatto notare dissonance, quella serie non è sempre positiva a causa di $\ln x$, pertanto il teorema del confronto non si può applicare; fine.
Bisogna perciò trovare un'altra strada, che è proprio quella dell'assoluta convergenza; a quel punto si può applicare il criterio del confronto e tutto ciò che segue è corretto.
Per quanto riguarda la convergenza per $x=1$, diciamo che spesso è utile vedere cosa succede sulla frontiera dell'intervallo di convergenza.
Perciò, come ti ha fatto notare dissonance, quella serie non è sempre positiva a causa di $\ln x$, pertanto il teorema del confronto non si può applicare; fine.
Bisogna perciò trovare un'altra strada, che è proprio quella dell'assoluta convergenza; a quel punto si può applicare il criterio del confronto e tutto ciò che segue è corretto.
Per quanto riguarda la convergenza per $x=1$, diciamo che spesso è utile vedere cosa succede sulla frontiera dell'intervallo di convergenza.
Biuongiorno Mephilp,
riprendo la serie
$sum_1^infty (x^nlogx^n)$
Schematizzo il procedimento, perchè nel caso in cui ci fosse l'errore, si interviene in quel punto.
1.Come detto la serie non è a termini positivi, per cui occore applicare il criterio di convergenza assoluta, quindi verifichiamo se la serie assoluta converge, ovvero se converge $sum_1^infty |x^nlogx^n|$, su questa serie possiamo applicare i vari criteri per le serie a termini positivi.
2.Applico il criterio del confronto
$|x^nlogx^n| le |x^(2n)|$
il termine della nuova serie è $b_n=|x^(2n)|$.
3.La serie risultante, è la serie geometrica, di ragione $c=|x^(2n)|$, la quale risulta essere convergente quando si ha $|c| =||x^(2n)||=|x^(2n)|<1$
4. Considernado la condizione di esistenza della funzione logaritmica e la condione al punto 3. si ha la convergenza della serie geometrica per $0
5. Inoltre considerando la convergenza anche nel punto $x=1$, si ha la convergenza della serie di termine $b_n$, per i valori $0
6. Quindi per il criterio del confronto la serie di termine $|a_n|$ converge, inoltre per il criterio di convergenza assoluta la serie di termine $a_n$ converge per i valori detti.
Cosi va bene ?
Buona giornata
riprendo la serie
$sum_1^infty (x^nlogx^n)$
Schematizzo il procedimento, perchè nel caso in cui ci fosse l'errore, si interviene in quel punto.
1.Come detto la serie non è a termini positivi, per cui occore applicare il criterio di convergenza assoluta, quindi verifichiamo se la serie assoluta converge, ovvero se converge $sum_1^infty |x^nlogx^n|$, su questa serie possiamo applicare i vari criteri per le serie a termini positivi.
2.Applico il criterio del confronto
$|x^nlogx^n| le |x^(2n)|$
il termine della nuova serie è $b_n=|x^(2n)|$.
3.La serie risultante, è la serie geometrica, di ragione $c=|x^(2n)|$, la quale risulta essere convergente quando si ha $|c| =||x^(2n)||=|x^(2n)|<1$
4. Considernado la condizione di esistenza della funzione logaritmica e la condione al punto 3. si ha la convergenza della serie geometrica per $0
5. Inoltre considerando la convergenza anche nel punto $x=1$, si ha la convergenza della serie di termine $b_n$, per i valori $0
6. Quindi per il criterio del confronto la serie di termine $|a_n|$ converge, inoltre per il criterio di convergenza assoluta la serie di termine $a_n$ converge per i valori detti.
Cosi va bene
? Buona giornata
Così mi sembra trattato come si deve!
vi ringrazio per gli accorgimenti, siete stai d'aiuto
Ciao
Ciao
Dunque... Capisco che magari ricavare esplicitamente la somma possa essere un problema, ma le proprietà dei logaritmi dovrebbero essere note anche ad Analisi I, per cui i passaggi seguenti
$\sum_{n = 1}^{+\infty} x^n logx^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} n x^n logx = log x \sum_{n = 1}^{+\infty} n x^n $
non dovrebbero costituire un problema. A questo punto la serie data, che ovviamente ha senso solo se $x > 0 $, converge se converge la serie seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} n x^n $
Essendo quest'ultima a termini positivi (ricorda che $x > 0 $), si può applicare a scelta il criterio del rapporto od il criterio della radice per scoprire facilmente che converge per $0 < x < 1 $
Peraltro per quanto riguarda la somma, oltre al ragionamento corretto di Mephlip, si può osservare che derivando una progressione geometrica si ha:
\begin{equation}
\boxed{1 + 2x + 3x^2 + \dots + nx^{n - 1} = \sum_{k=1}^{n} k x^{k-1} =
\begin{cases}
\dfrac{nx^{n + 1} -(n + 1)x^{n} + 1}{(1 - x)^2} & \text{se $x \ne 1$}\\
\dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} & \text{se $x = 1$}
\end{cases}}
\label{def:sum_{k=1}^{n} kx^{k-1}={nx^{n + 1} -(n + 1)x^{n} + 1}/{(1 - x)^2}}
\end{equation}
Moltiplicando tutto per $x$ si ha:
\begin{equation}
\boxed{x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + nx^{n} = \sum_{k=1}^{n} k x^{k} =
\begin{cases}
x \cdot \dfrac{nx^{n + 1} -(n + 1)x^{n} + 1}{(1 - x)^2} & \text{se $x \ne 1$}\\
\dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} & \text{se $x = 1$}
\end{cases}}
\label{def:sum_{k=1}^{n} kx^{k-1}=x{nx^{n + 1} -(n + 1)x^{n} + 1}/{(1 - x)^2}}
\end{equation}
Se in quest'ultima facciamo tendere $n \to +infty $ otteniamo proprio la serie in questione, convergente alla funzione $x/(x - 1)^2 $ se $|x| < 1 $
$\sum_{n = 1}^{+\infty} x^n logx^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} n x^n logx = log x \sum_{n = 1}^{+\infty} n x^n $
non dovrebbero costituire un problema. A questo punto la serie data, che ovviamente ha senso solo se $x > 0 $, converge se converge la serie seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} n x^n $
Essendo quest'ultima a termini positivi (ricorda che $x > 0 $), si può applicare a scelta il criterio del rapporto od il criterio della radice per scoprire facilmente che converge per $0 < x < 1 $
Peraltro per quanto riguarda la somma, oltre al ragionamento corretto di Mephlip, si può osservare che derivando una progressione geometrica si ha:
\begin{equation}
\boxed{1 + 2x + 3x^2 + \dots + nx^{n - 1} = \sum_{k=1}^{n} k x^{k-1} =
\begin{cases}
\dfrac{nx^{n + 1} -(n + 1)x^{n} + 1}{(1 - x)^2} & \text{se $x \ne 1$}\\
\dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} & \text{se $x = 1$}
\end{cases}}
\label{def:sum_{k=1}^{n} kx^{k-1}={nx^{n + 1} -(n + 1)x^{n} + 1}/{(1 - x)^2}}
\end{equation}
Moltiplicando tutto per $x$ si ha:
\begin{equation}
\boxed{x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + nx^{n} = \sum_{k=1}^{n} k x^{k} =
\begin{cases}
x \cdot \dfrac{nx^{n + 1} -(n + 1)x^{n} + 1}{(1 - x)^2} & \text{se $x \ne 1$}\\
\dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} & \text{se $x = 1$}
\end{cases}}
\label{def:sum_{k=1}^{n} kx^{k-1}=x{nx^{n + 1} -(n + 1)x^{n} + 1}/{(1 - x)^2}}
\end{equation}
Se in quest'ultima facciamo tendere $n \to +infty $ otteniamo proprio la serie in questione, convergente alla funzione $x/(x - 1)^2 $ se $|x| < 1 $
@galles: Ho visto parecchie volte che usi la disuguaglianza \[
\tag{(!!)} |\log y|\le |y|.\]
Sei proprio sicuro che sia corretta? Provala a fare tendere \(y\) a zero ad ambo i membri.
\tag{(!!)} |\log y|\le |y|.\]
Sei proprio sicuro che sia corretta? Provala a fare tendere \(y\) a zero ad ambo i membri.
Buongiorno,
@dissonance,
1.$|log(x)| le |x|$ risulta vera per $x ge 1$, con $x in mathbb{R}$,
2.$log(x) le x$ si ha $ x>0$, con $ x in mathbb{R}$.
In sintessi la relazione che ho usato $|x^nlogx^n| le | x^(2n)|$ è valida sotto le ipotesi 1. cioè per $x ge 1$, con $x in mathbb{R}$.
Per cui risulterebbe una serie geometrica, per quanto detto, diverge, quindi per il criterio di convergenza assoluta non possiamo dire nulla sul carettere della serie di partenza.
In finale il procedimento corretto è quello di pillloeffe.
Datemi conferma, cosi mi tranquilizzo
Buonagiornata e grazie per l'aiuto.
@dissonance,
1.$|log(x)| le |x|$ risulta vera per $x ge 1$, con $x in mathbb{R}$,
2.$log(x) le x$ si ha $ x>0$, con $ x in mathbb{R}$.
In sintessi la relazione che ho usato $|x^nlogx^n| le | x^(2n)|$ è valida sotto le ipotesi 1. cioè per $x ge 1$, con $x in mathbb{R}$.
Per cui risulterebbe una serie geometrica, per quanto detto, diverge, quindi per il criterio di convergenza assoluta non possiamo dire nulla sul carettere della serie di partenza.
In finale il procedimento corretto è quello di pillloeffe.
Datemi conferma, cosi mi tranquilizzo
Buonagiornata e grazie per l'aiuto.
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