Determinare il numero di zeri
Ciao a tutti,
mi sto inceppando sul seguente esercizio.
Determinare il numero di zeri della seguente funzione \( F(x)=\begin{cases} \sqrt{x}-\frac{x\ln{x}}{x-1}&\quad\text{se }x\in(0,1)\cup(1,+\infty) \\ 0&\quad\text{se }x=1 \end{cases} \).
Sicuramente $x=1$ è uno zero. Ma capire la monotonia mi sembra difficile; la derivata è \( F(x)=\begin{cases} \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{x-\ln{x}-1}{(x-1)^2}&\quad\text{se }x\in(0,1)\cup(1,+\infty) \\ 0&\quad\text{se }x=1 \end{cases} \)
Avete qualche idea o qualche modo furbo per scrivere la derivata in modo che si riesca a capire la monotonia?
Grazie!
mi sto inceppando sul seguente esercizio.
Determinare il numero di zeri della seguente funzione \( F(x)=\begin{cases} \sqrt{x}-\frac{x\ln{x}}{x-1}&\quad\text{se }x\in(0,1)\cup(1,+\infty) \\ 0&\quad\text{se }x=1 \end{cases} \).
Sicuramente $x=1$ è uno zero. Ma capire la monotonia mi sembra difficile; la derivata è \( F(x)=\begin{cases} \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{x-\ln{x}-1}{(x-1)^2}&\quad\text{se }x\in(0,1)\cup(1,+\infty) \\ 0&\quad\text{se }x=1 \end{cases} \)
Avete qualche idea o qualche modo furbo per scrivere la derivata in modo che si riesca a capire la monotonia?
Grazie!
Risposte
io lo risolverei disegnando il grafico. calcolando i limiti agli estremi del dominio trovo:
$lim_(x->0^(\text{+}))f(x)=lim_(x->1^(\text{±}))f(x)=0$ e $lim_(x->+oo))f(x)=+oo$
noto poi che è positiva in tutto il dominio. quindi ho capito che parte vicino a zero in zero ed arriva vicino a zero in 1 e poi da questo all'infinito. quindi mi immagino che al massimo la funzione possa crescere e poi decrescere in $(0,1)$ e poi crescere in $(1,+oo)$ non potendo attraversare l'asse ed andare nei negativi.
di conseguenza mi sembra che l'unico zero possa essere $x=1$.
non troppo formale in realtà però credo possa andare.
$lim_(x->0^(\text{+}))f(x)=lim_(x->1^(\text{±}))f(x)=0$ e $lim_(x->+oo))f(x)=+oo$
noto poi che è positiva in tutto il dominio. quindi ho capito che parte vicino a zero in zero ed arriva vicino a zero in 1 e poi da questo all'infinito. quindi mi immagino che al massimo la funzione possa crescere e poi decrescere in $(0,1)$ e poi crescere in $(1,+oo)$ non potendo attraversare l'asse ed andare nei negativi.
di conseguenza mi sembra che l'unico zero possa essere $x=1$.
non troppo formale in realtà però credo possa andare.
Come hai fatto a capire che è positiva in tutto il suo dominio?
plotta i grafici di $(x-1)/sqrtx$ e quello di $logx$ e confrontali (magari online).
"cooper":
plotta i grafici di $(x-1)/sqrtx$ e quello di $logx$ e confrontali (magari online).
Ah ok pensavo lo avessi fatto facendo dei conti
"mauri54":
Ah ok pensavo lo avessi fatto facendo dei conti
non escludo che ci possa anche essere un modo ma così ad occhio non mi sembrava e non volevo scervellarmi per niente
"mauri54":
Come hai fatto a capire che è positiva in tutto il suo dominio?
Beh questo adesso è facile. EDIT: mi sa che mi sono confuso con i segni Il termine \(\sqrt x\) è sempre positivo. Il termine \(x\log x/(x-1)\) è sempre negativo, perché sia il numeratore sia il denominatore cambiano segno solo per \(x=1\). Quindi la differenza è sempre positiva (o nulla).
"dissonance":
[quote="mauri54"]Come hai fatto a capire che è positiva in tutto il suo dominio?
Beh questo adesso è facile. EDIT: mi sa che mi sono confuso con i segni Il termine \(\sqrt x\) è sempre positivo. Il termine \(x\log x/(x-1)\) è sempre negativo, perché sia il numeratore sia il denominatore cambiano segno solo per \(x=1\). Quindi la differenza è sempre positiva (o nulla).[/quote]
\( \frac{x\log{x}}{x-1} \) è sempre negativa, quindi se considero \( \sqrt{x}-\frac{x\log{x}}{x-1} \) purtroppo non riesco a concludere qualcosa sul segno in modo banale.
Comunque mi sembra un po' complicato. E' il quarto punto di un esercizio di una prova di analisi 1 del dipartimento di matematica di Genova. I punti precedenti sono: dominio e limiti agli estremi, trovare il polinomio di taylor in x=1 di ordine 2, calcolare \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)-sinx \). Non è manco un esercizio "guidato" in cui ti servono i punti precedenti a parte dominio e limiti agli estremi....Boh!Ci deve essere qualche trucchetto per scrivere la derivata e capirne il segno....
"mauri54":
\( \frac{x\log{x}}{x-1} \) è sempre negativa, quindi se considero \( \sqrt{x}-\frac{x\log{x}}{x-1} \) purtroppo non riesco a concludere qualcosa sul segno in modo banale.
non è sempre negativa, è sempre positiva. se fosse sempre negativa potresti invece concludere facilmente: poichè $sqrtx >0$ sempre e quell'altra sempre negativa poichè preceduta dal meno sarebbe sempre positiva e quindi sommando due positivi ottieni sempre un positivo.
il problema è che così non è: $(xlnx)/(x-1) >0$ sempre e quindi la differenza di due positivi non possiamo garantire sia positiva. che sia positiva lo capisci perchè in $(0,1)$ il logaritmo è negativo ed anche il numeratore compensando i segni. in $(1,+oo)$ invece ogni termine è positivo e quindi lo è anche l'intera funzione.
"cooper":
[quote="mauri54"]
\( \frac{x\log{x}}{x-1} \) è sempre negativa, quindi se considero \( \sqrt{x}-\frac{x\log{x}}{x-1} \) purtroppo non riesco a concludere qualcosa sul segno in modo banale.
non è sempre negativa, è sempre positiva. se fosse sempre negativa potresti invece concludere facilmente: poichè $sqrtx >0$ sempre e quell'altra sempre negativa poichè preceduta dal meno sarebbe sempre positiva e quindi sommando due positivi ottieni sempre un positivo.
il problema è che così non è: $(xlnx)/(x-1) >0$ sempre e quindi la differenza di due positivi non possiamo garantire sia positiva. che sia positiva lo capisci perchè in $(0,1)$ il logaritmo è negativo ed anche il numeratore compensando i segni. in $(1,+oo)$ invece ogni termine è positivo e quindi lo è anche l'intera funzione.[/quote]
Sisi scusa intendevo quello che hai detto ma ho sbagliato a scrivere... Appunto non riesco a concludere nulla per quello che hai scritto tu.
per questo ho proposto il grafico, così lo verifichi ad occhio ed hai finito.
"cooper":
per questo ho proposto il grafico, così lo verifichi ad occhio ed hai finito.
Ahah si ok. Con il grafico ok ma a me interessava l'idea per risolverlo analiticamente
....E mi sta urtando perché non mi viene un'idea furba
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo