Determinare il numero di soluzioni reali di un'equazione
All'esame il prof mette sempre equazioni difficili, in questo caso \(\displaystyle \frac{3(x^2+4x)}{4(x+1)} - \log\left | 3x+1 \right | = 0 \)
E dice:
Certo, se fosse un polinomio potrei fare degli studi sul grado e determinare il numero di possibili soluzioni, ma non lo è...
Allora, porto in base comune, rimuovo il denominatore e mi ritrovo con
\(\displaystyle 3(x^2+4x) + (-4x -4) \log\left | 3x+1 \right | = 0 \)
La cosa divertente però sono le due soluzioni (a parte x=0) che mi da WolframAlpha, ovvero:
x = root of 3 x^2+12 x+(-4 x-4) log(-3 x-1) near x = -2.50145
x = root of 3 x^2+12 x+(-4 x-4) log(-3 x-1) near x = -0.391691
In primo luogo noto che per il valore assoluto ha usato 3x + 1 <0 invece che 3x+1>= 0, come mi sarei aspettato.
E poi, da dove spuntano fuori quelle due radici?
Principalmente, vorrei solo sapere se c'è un modo facile per calcolare approsimatamente il risultato, o semplicemente il numero di soluzioni reali...
Link a soluzione WolframAlpha
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%283%28x^2%2B4x%29%29%2F%284%28x%2B1%29%29+-log%28abs%283x%2B1%29%29+%3D+0
E dice:
Si mostri che f(x) si annulla in esattamente tre punti, di cui uno è x = 0;
Certo, se fosse un polinomio potrei fare degli studi sul grado e determinare il numero di possibili soluzioni, ma non lo è...
Allora, porto in base comune, rimuovo il denominatore e mi ritrovo con
\(\displaystyle 3(x^2+4x) + (-4x -4) \log\left | 3x+1 \right | = 0 \)
La cosa divertente però sono le due soluzioni (a parte x=0) che mi da WolframAlpha, ovvero:
x = root of 3 x^2+12 x+(-4 x-4) log(-3 x-1) near x = -2.50145
x = root of 3 x^2+12 x+(-4 x-4) log(-3 x-1) near x = -0.391691
In primo luogo noto che per il valore assoluto ha usato 3x + 1 <0 invece che 3x+1>= 0, come mi sarei aspettato.
E poi, da dove spuntano fuori quelle due radici?
Principalmente, vorrei solo sapere se c'è un modo facile per calcolare approsimatamente il risultato, o semplicemente il numero di soluzioni reali...
Link a soluzione WolframAlpha
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%283%28x^2%2B4x%29%29%2F%284%28x%2B1%29%29+-log%28abs%283x%2B1%29%29+%3D+0
Risposte
Credo che quello che il tuo professore voglia farti fare sia lo studio di funzione. La soluzione $0$ è solo da verificare, ma può aiutare dopo. Calcolando le derivate, vedrai subito quante devono essere le intersezioni con l'asse delle ascisse, anche (soprattutto) senza calcolarle esplicitamente.
Si, è così. Ma che io sappia, la derivata prima mi dice quando la funzione è crescende/decrescente, mentre la derivata seconda mi dice la concavità/convessità. Come può aiutarmi questo?
P.S.
Da un triplo grafico di f(x), f'(x) e f''(x) (di un altra funzione) ho notato che tutte e tre si annullano lo stesso numero di volte sebbene in punti diversi. E' questo quello che volevi dirmi?
P.S.
Da un triplo grafico di f(x), f'(x) e f''(x) (di un altra funzione) ho notato che tutte e tre si annullano lo stesso numero di volte sebbene in punti diversi. E' questo quello che volevi dirmi?
Facciamo un esempio, per capirci meglio:
diciamo che la derivata prima ti dice che hai un minimo in $x_0$ e un massimo in $x_1$. E poniamo che calcolando i limiti agli estremi del dominio scopri che per $x \rightarrow +\infty$ la funzione è negativa, e per $x \rightarrow -\infty$ la funzione è positiva.
Usando il teorema degli zeri, puoi trarre le giuste conclusioni. Inoltre, sempre utilizzando massimi e minimi e il segno della derivata, puoi estrapolare informazioni senza il calcolo dei limiti.
diciamo che la derivata prima ti dice che hai un minimo in $x_0$ e un massimo in $x_1$. E poniamo che calcolando i limiti agli estremi del dominio scopri che per $x \rightarrow +\infty$ la funzione è negativa, e per $x \rightarrow -\infty$ la funzione è positiva.
Usando il teorema degli zeri, puoi trarre le giuste conclusioni. Inoltre, sempre utilizzando massimi e minimi e il segno della derivata, puoi estrapolare informazioni senza il calcolo dei limiti.
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