Determinare il carattere di una serie numerica

[PaoloC94]

salve a tutti volevo applicare il criterio di leibniz alla seguente serie:

$\sum_{n=1}^infty (-1)^n(1 + 2/(n+1))^(-n^2-n)$

Io sò che secondo il suddetto criterio che se una serie numerica a segno alterno è infinitesima e monotona non crescente allora la serie converge. Io sono riuscito a dimostrare che facendo il limite che tende a infinito della serie, però non sò come dimostrare che è monotona non crescente e vorrei sapere come fare per dimostrarlo. Inoltre cè qualche differenza nel dire che una serie "converge" e "converge assolutamente"?

[theras]

A naso direi che è possibile dimostrare la decrescenza di quella successione a partire dalla crescenza,
nota dai tempi in cui è stato introdotto $e$,della successione di termine generale $(1+1/n)^n$;
ma con tutte le indispensabili considerazioni che ci son da fare per verificare legittimamente la monotonia della successione avente per termine generale il valore assoluto della serie
(niente di complicato,direi,ma sottrae un pò di tempo..),
forse conviene dimostrare,usando qualcuno dei criteri di convergenza per le serie numeriche a termini positivi,
come la serie assegnata converga assolutamente
(i.e.verificare che $sum_(n=0)^(+oo)|a_n|$ converge,ad esempio usando il corollario al criterio della radice..):
d'altronde c'è un famoso teoremino che t'assicura come,quando ciò accade,anche la serie assegnata converge
(ma il viceversa non è vero,ed un controesempio comune è,in tal senso,la $sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n)/n$,
che converge proprio per il criterio di Liebnitz ma,
non facendolo assolutamente per evidenti motivi legati alla divergenza della serie armonica,
si preferisce dire che converge semplicemente..) !
Saluti dal web.

[PaoloC94]

"theras":A naso direi che è possibile dimostrare la decrescenza di quella successione a partire dalla crescenza,
nota dai tempi in cui è stato introdotto $e$,della successione di termine generale $(1+1/n)^n$;
ma con tutte le indispensabili considerazioni che ci son da fare per verificare legittimamente la monotonia della successione avente per termine generale il valore assoluto della serie
(niente di complicato,direi,ma sottrae un pò di tempo..),
forse conviene dimostrare,usando qualcuno dei criteri di convergenza per le serie numeriche a termini positivi,
come la serie assegnata converga assolutamente
(i.e.verificare che $sum_(n=0)^(+oo)|a_n|$ converge,ad esempio usando il corollario al criterio della radice..):
d'altronde c'è un famoso teoremino che t'assicura come,quando ciò accade,anche la serie assegnata converge
(ma il viceversa non è vero,ed un controesempio comune è,in tal senso,la $sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n)/n$,
che converge proprio per il criterio di Liebnitz ma,
non facendolo assolutamente per evidenti motivi legati alla divergenza della serie armonica,
si preferisce dire che converge semplicemente..) !
Saluti dal web.

grazie mille sei stato più che chiaro