Determinare il carattere di una serie abbastanza complicata
Ciao ragazzi, non riesco a risolvere questa serie. Ho provato con le stime asintotiche ma non riesco a procedere. Qualcuno può darmi qualche suggerimento sulla strada da percorrere?
La serie dovrebbe divergere.
Grazie!
$ sum_(n = \2)^(oo) ((log(n^n)+e^(sen(n))+1)/(2+n^2log(n)+e^(arctan(n))))*(sqrt(n^2+2)- sqrt(n^2+1)) $
La serie dovrebbe divergere.
Grazie!
$ sum_(n = \2)^(oo) ((log(n^n)+e^(sen(n))+1)/(2+n^2log(n)+e^(arctan(n))))*(sqrt(n^2+2)- sqrt(n^2+1)) $
Risposte
Ciao gigiros,
La serie proposta può convergere, infatti posto
$a_n := (log(n^n)+e^(sin(n))+1)/(2+n^2log(n)+e^(arctan(n)))(sqrt(n^2+2)- sqrt(n^2+1)) $
si ha $ lim_{n \to +infty} a_n = 0 $ quindi è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy. Per vedere se effettivamente converge, procederei con delle maggiorazioni:
$ sum_{n = 2}^{+\infty} (log(n^n)+e^(sin(n))+1)/(2+n^2log(n)+e^(arctan(n)))(sqrt(n^2+2) - sqrt(n^2+1)) < $
$ < sum_{n = 2}^{+\infty} (log(n^n)+e^(sin(n))+1)/(n^2 log(n))(sqrt(n^2+2)- sqrt(n^2+1)) = $
$ = sum_{n = 2}^{+\infty} (n log(n)+e^(sin(n))+1)/(n^2 log(n)) \cdot frac{1}{sqrt(n^2+2) + sqrt(n^2+1)} = $
$ = sum_{n = 2}^{+\infty} (n log(n)+e^(sin(n))+1)/(n^2 log(n)) \cdot frac{1}{n(sqrt(1+2/n^2) + sqrt(1+1/n^2))} < $
$ < sum_{n = 2}^{+\infty} (n log(n)+e^(sin(n))+1)/(n^3 log(n)) = $
$ = sum_{n = 2}^{+\infty} frac{1}{n^2} + sum_{n = 2}^{+\infty} frac{e^(sin(n))}{n^3 log(n)} + sum_{n = 2}^{+\infty} frac{1}{n^3 log(n)} $
Ognuna delle ultime tre serie scritte può essere maggiorata dalla serie armonica generalizzata o dalla serie armonica generalizzata del secondo tipo (quella col logaritmo al denominatore). Si conclude che la serie proposta è convergente.
La serie proposta può convergere, infatti posto
$a_n := (log(n^n)+e^(sin(n))+1)/(2+n^2log(n)+e^(arctan(n)))(sqrt(n^2+2)- sqrt(n^2+1)) $
si ha $ lim_{n \to +infty} a_n = 0 $ quindi è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy. Per vedere se effettivamente converge, procederei con delle maggiorazioni:
$ sum_{n = 2}^{+\infty} (log(n^n)+e^(sin(n))+1)/(2+n^2log(n)+e^(arctan(n)))(sqrt(n^2+2) - sqrt(n^2+1)) < $
$ < sum_{n = 2}^{+\infty} (log(n^n)+e^(sin(n))+1)/(n^2 log(n))(sqrt(n^2+2)- sqrt(n^2+1)) = $
$ = sum_{n = 2}^{+\infty} (n log(n)+e^(sin(n))+1)/(n^2 log(n)) \cdot frac{1}{sqrt(n^2+2) + sqrt(n^2+1)} = $
$ = sum_{n = 2}^{+\infty} (n log(n)+e^(sin(n))+1)/(n^2 log(n)) \cdot frac{1}{n(sqrt(1+2/n^2) + sqrt(1+1/n^2))} < $
$ < sum_{n = 2}^{+\infty} (n log(n)+e^(sin(n))+1)/(n^3 log(n)) = $
$ = sum_{n = 2}^{+\infty} frac{1}{n^2} + sum_{n = 2}^{+\infty} frac{e^(sin(n))}{n^3 log(n)} + sum_{n = 2}^{+\infty} frac{1}{n^3 log(n)} $
Ognuna delle ultime tre serie scritte può essere maggiorata dalla serie armonica generalizzata o dalla serie armonica generalizzata del secondo tipo (quella col logaritmo al denominatore). Si conclude che la serie proposta è convergente.
Ti rispondo per farmi anche io un ripassino sulle serie 
Ti propongo questo approccio:
Si osserva che gli unici termini determinanti per la convergenza sono: $ln(n^n)$, $n^2ln(n)$ e la parentesi con le radici, dato che gli altri termini sono delle costanti in termini pratici.
Dunque la serie originale è circa uguale a $sum (n*ln(n)/(n^2ln(n))*(nsqrt(1+2/n^2)-nsqrt(1+1/n^2)))$
Togliamo qualche cosuccia semplificando e otteniamo
$sum sqrt(1+2/n^2)-sqrt(1+1/n^2)$
a questo punto possiamo dire che è asintoticamente uguale a $sum 1/(2n^2)$ e quindi $1/2sum(1/n^2))$ che è la serie armonica con esponente $alpha>1$.In conclusione, la serie converge
Ti propongo questo approccio:
Si osserva che gli unici termini determinanti per la convergenza sono: $ln(n^n)$, $n^2ln(n)$ e la parentesi con le radici, dato che gli altri termini sono delle costanti in termini pratici.
Dunque la serie originale è circa uguale a $sum (n*ln(n)/(n^2ln(n))*(nsqrt(1+2/n^2)-nsqrt(1+1/n^2)))$
Togliamo qualche cosuccia semplificando e otteniamo
$sum sqrt(1+2/n^2)-sqrt(1+1/n^2)$
a questo punto possiamo dire che è asintoticamente uguale a $sum 1/(2n^2)$ e quindi $1/2sum(1/n^2))$ che è la serie armonica con esponente $alpha>1$.In conclusione, la serie converge
Ciao caffeinaplus,
[...] che è la serie armonica generalizzata con esponente $ \alpha > 1 $...
"caffeinaplus":
che è la serie armonica con esponente $ n > 1 $
[...] che è la serie armonica generalizzata con esponente $ \alpha > 1 $...
"pilloeffe":
Ciao caffeinaplus,
[quote="caffeinaplus"] che è la serie armonica con esponente $ n > 1 $
[...] che è la serie armonica generalizzata con esponente $ \alpha > 1 $...
[/quote]Piccolo errore di battitura, grazie per avermi fatto notare la svista, correggo per evitare fraintendimenti
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