Determinare il carattere di una serie
Salve, oggi mi sono imbattuto in un'esercizio che mi chiede di determinare il carattere della seguente serie:
$sum((e)^((n+1)/(3-n^2))-e^(1/n)) $
Io per risolvere questo esercizio ho fatto le seguenti considerazioni, che sembrano molto distanti da quelle che ha fatto il libro, ma che portano allo stesso risultato: la serie diverge negativamente.
Considerando le seguenti stime asintotiche, circa l'esponente del primo termine:
$n+1 ~ n$
$3-n^2 ~ n^2$
Dunque ottengo che il primo termine è asintotico a: $e^(-1/n)$ e dunque il termine generale della mia serie è asintotico a:
$e^(-1/n)-e^(1/n)$
Dato che $1/n rarr 0$ isolo il termine $e^(1/n)$ ed applico la stima asintotica: $e^x-1 ~ x (x rarr 0)$
Dunque ottengo: $e^(1/n)(e^(-2/n)-1) ~ -2e^(1/n)*(1/n)$
Quindi la serie di partenza è asintotica alla serie armonica, che diverge, per il criterio del confronto asintotico anche la serie data diverge.
Secondo voi è un procedimento sbagliato, ho sbagliato a fare qualche considerazione?
$sum((e)^((n+1)/(3-n^2))-e^(1/n)) $
Io per risolvere questo esercizio ho fatto le seguenti considerazioni, che sembrano molto distanti da quelle che ha fatto il libro, ma che portano allo stesso risultato: la serie diverge negativamente.
Considerando le seguenti stime asintotiche, circa l'esponente del primo termine:
$n+1 ~ n$
$3-n^2 ~ n^2$
Dunque ottengo che il primo termine è asintotico a: $e^(-1/n)$ e dunque il termine generale della mia serie è asintotico a:
$e^(-1/n)-e^(1/n)$
Dato che $1/n rarr 0$ isolo il termine $e^(1/n)$ ed applico la stima asintotica: $e^x-1 ~ x (x rarr 0)$
Dunque ottengo: $e^(1/n)(e^(-2/n)-1) ~ -2e^(1/n)*(1/n)$
Quindi la serie di partenza è asintotica alla serie armonica, che diverge, per il criterio del confronto asintotico anche la serie data diverge.
Secondo voi è un procedimento sbagliato, ho sbagliato a fare qualche considerazione?
Risposte
Il criterio del confronto asintotico richiede, tra le varie ipotesi, la positività delle successioni $a_n$ e $b_n$ che utilizzi.
Tale positività va dimostrata, altrimenti non si può utilizzare.
Inoltre si distinguono i casi in base a che valore assume $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n}$.
Tale positività va dimostrata, altrimenti non si può utilizzare.
Inoltre si distinguono i casi in base a che valore assume $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n}$.
"Mephlip":
Il criterio del confronto asintotico richiede, tra le varie ipotesi, la positività delle successioni $a_n$ e $b_n$ che utilizzi.
Tale positività va dimostrata, altrimenti non si può utilizzare.
Inoltre si distinguono i casi in base a che valore assume $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n}$.
Ciao! Grazie per la risposta.
L'esercizio è stato tratto da una raccolta di esercizi che chiede: "determina il carattere delle seguenti serie a termini positivi", dunque è incentrato sull'utilizzo dei criteri da applicare alle serie a termini positivi piuttosto che allo studio "più completo" della serie.
Mi è comunque sorto un'altro dubbio rispetto a quello che hai scritto, infatti una serie a termini positivi, per come sta scritto sul mio libro di analisi 1: "o è convergente oppure è divergente positivamente;
A questo punto suppongo che il libro degli esercizi abbia fatto un errore!
Direi proprio di sì: se è specificato che sono a termini positivi e viene $-\infty$ c'è decisamente un errore.
Suppongo quindi che semplicemente non sia a termini positivi: infatti non lo è, perché la successione è positiva quando $\frac{n+1}{3-n^2}>\frac{1}{n}$ e questo non è vero definitivamente (ho confrontato solo gli esponenti perché l'esponenziale in base $e$ è una funzione monotòna crescente).
Comunque il mio suggerimento è: sviluppa con Taylor piuttosto che utilizzare equivalenze asintotiche.
Innanzitutto, raccogliamo un segno meno; fatto questo, ora la termine è definitivamente a termini di segno positivo e si ha, per $n \to +\infty$, che
$$e^{\frac{1}{n}}-e^{\frac{n+1}{3-n^2}}=1+\frac{1}{n}-1-\frac{n+1}{3-n^2}+o \left(\frac{1}{n} \right)=\frac{1}{n}+\frac{n \left(1+\frac{1}{n}\right)}{n^2 \left(1-\frac{3}{n^2}\right)}+o \left(\frac{1}{n} \right)=\frac{2}{n}+o \left(\frac{1}{n} \right)$$
Quindi per il criterio del confronto asintotico (che ho usato perché, avendo raccolto un meno nella successione, ora la serie è a termini positivi e puoi usarlo; non devi poi dimenticartene di questo segno) puoi concludere che la serie si comporta come una serie armonica divergente che ha come successione $a_n=\frac{2}{n}$; quindi tale serie diverge a $-\infty$ (negativo per il segno raccolto).
Suppongo quindi che semplicemente non sia a termini positivi: infatti non lo è, perché la successione è positiva quando $\frac{n+1}{3-n^2}>\frac{1}{n}$ e questo non è vero definitivamente (ho confrontato solo gli esponenti perché l'esponenziale in base $e$ è una funzione monotòna crescente).
Comunque il mio suggerimento è: sviluppa con Taylor piuttosto che utilizzare equivalenze asintotiche.
Innanzitutto, raccogliamo un segno meno; fatto questo, ora la termine è definitivamente a termini di segno positivo e si ha, per $n \to +\infty$, che
$$e^{\frac{1}{n}}-e^{\frac{n+1}{3-n^2}}=1+\frac{1}{n}-1-\frac{n+1}{3-n^2}+o \left(\frac{1}{n} \right)=\frac{1}{n}+\frac{n \left(1+\frac{1}{n}\right)}{n^2 \left(1-\frac{3}{n^2}\right)}+o \left(\frac{1}{n} \right)=\frac{2}{n}+o \left(\frac{1}{n} \right)$$
Quindi per il criterio del confronto asintotico (che ho usato perché, avendo raccolto un meno nella successione, ora la serie è a termini positivi e puoi usarlo; non devi poi dimenticartene di questo segno) puoi concludere che la serie si comporta come una serie armonica divergente che ha come successione $a_n=\frac{2}{n}$; quindi tale serie diverge a $-\infty$ (negativo per il segno raccolto).
"Mephlip":
Direi proprio di sì: se è specificato che sono a termini positivi e viene $-\infty$ c'è decisamente un errore.
Suppongo quindi che semplicemente non sia a termini positivi: infatti non lo è, perché la successione è positiva quando $\frac{n+1}{3-n^2}>\frac{1}{n}$ e questo non è vero definitivamente (ho confrontato solo gli esponenti perché l'esponenziale in base $e$ è una funzione monotòna crescente).
Comunque il mio suggerimento è: sviluppa con Taylor piuttosto che utilizzare equivalenze asintotiche.
Innanzitutto, raccogliamo un segno meno; fatto questo, ora la termine è definitivamente a termini di segno positivo e si ha, per $n \to +\infty$, che
$$e^{\frac{1}{n}}-e^{\frac{n+1}{3-n^2}}=1+\frac{1}{n}-1-\frac{n+1}{3-n^2}+o \left(\frac{1}{n} \right)=\frac{1}{n}+\frac{n \left(1+\frac{1}{n}\right)}{n^2 \left(1-\frac{3}{n^2}\right)}+o \left(\frac{1}{n} \right)=\frac{2}{n}+o \left(\frac{1}{n} \right)$$
Quindi per il criterio del confronto asintotico (che ho usato perché, avendo raccolto un meno nella successione, ora la serie è a termini positivi e puoi usarlo; non devi poi dimenticartene di questo segno) puoi concludere che la serie si comporta come una serie armonica divergente che ha come successione $a_n=\frac{2}{n}$; quindi tale serie diverge a $-\infty$ (negativo per il segno raccolto).
Grazie mille!
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