Determinare il carattere dell'integrale improprio
Ciao ragazzi, vi propongo il seguente integrale (la cui richiesta è in topic):
$int_(0)^(1/2) (x^(3/2)(lnx))/((1+arctgx)^(x^x-1)-1)$
Dunque, con banali sostituzioni di Taylor (corrette, ho già controllato sulle soluzioni), si arriva a:
$int_(0)^(1/2) 1/x^(1/2)$
Omettendo volontariamente l'o-piccolo. Dunque, a questo punto, mi viene detto che bisogna sfruttare il confronto asintotico, prendere una funzione $g(x)=1/x^(1/2)$, e dunque fare:
$f(x)/g(x) = 1$ .. cioè l'integrale converge.
Ma perché? Se $x$ tende a zero, la funzione $g(x)$ dovrebbe tendere ad infinito, e quindi non convergere.. mentre il confronto asintotico afferma proprio che bisogna confrontare $f(x)$ con una funzione convergente.. cosa sbaglio?
$int_(0)^(1/2) (x^(3/2)(lnx))/((1+arctgx)^(x^x-1)-1)$
Dunque, con banali sostituzioni di Taylor (corrette, ho già controllato sulle soluzioni), si arriva a:
$int_(0)^(1/2) 1/x^(1/2)$
Omettendo volontariamente l'o-piccolo. Dunque, a questo punto, mi viene detto che bisogna sfruttare il confronto asintotico, prendere una funzione $g(x)=1/x^(1/2)$, e dunque fare:
$f(x)/g(x) = 1$ .. cioè l'integrale converge.
Ma perché? Se $x$ tende a zero, la funzione $g(x)$ dovrebbe tendere ad infinito, e quindi non convergere.. mentre il confronto asintotico afferma proprio che bisogna confrontare $f(x)$ con una funzione convergente.. cosa sbaglio?
Risposte
"Sakineh":
Ma perché? Se $x$ tende a zero, la funzione $g(x)$ dovrebbe tendere ad infinito, e quindi non convergere..
non sono d'accordo, la tua g(x) converge e puoi anche calcolarne esplicitamente la primitiva, nel caso volessi verificare la convergenza
Non capisco perché $g(x)$ dovrebbe convergere..
Se si intendesse l'integrale di $g(x)$, che sarebbe $2x^(1/2)$, è chiaro che questa funzione converga per $x -> 0$, ma potevamo stabilirlo anche per $f(x)$ in questo modo senza ricorrere al confronto asintotico, quindi non capisco..
Se si intendesse l'integrale di $g(x)$, che sarebbe $2x^(1/2)$, è chiaro che questa funzione converga per $x -> 0$, ma potevamo stabilirlo anche per $f(x)$ in questo modo senza ricorrere al confronto asintotico, quindi non capisco..
"Sakineh":
Non capisco perché $g(x)$ dovrebbe convergere..
Se si intendesse l'integrale di $g(x)$, che sarebbe $2x^(1/2)$, è chiaro che questa funzione converga per $x -> 0$, ma potevamo stabilirlo anche per $f(x)$ in questo modo senza ricorrere al confronto asintotico, quindi non capisco..
mi sono espresso male: l'integrale di g(x) converge
cmq il criterio asintotico dice che se due funzioni sono asintotiche in un intorno di un certo punto, allora gli integrali definiti delle due funzioni hanno lo stesso carattere (in quell'intorno), svolgendo lo sviluppo di Taylor hai già trovato una funzione asintotica a quella data, devi solo stabilire se il suo integrale converge
Quindi il confronto asintotico non serviva a nulla? Sarebbe bastato fare l'integrale e notare che tendesse a zero? Non ne sono convinta..
"Sakineh":
Sarebbe bastato fare l'integrale e notare che tendesse a zero? Non ne sono convinta..
L'integrale non tende a zero. L'integrale converge.
"Sakineh":
Quindi il confronto asintotico non serviva a nulla?
Secondo me il confronto asintotico inizi ad applicarlo nel momento in cui approssimi con Taylor
Perché converge?
Converge significa che assume valore finito.
Nel tuo caso
$f(x) ~ 1/{\sqrt x}$ $^^$ $\int 1/{\sqrt x} dx$ converge
$rArr \int f(x) dx$ converge
EDIT: e questo è il modo in cui si applica il criterio asintotco
Nel tuo caso
$f(x) ~ 1/{\sqrt x}$ $^^$ $\int 1/{\sqrt x} dx$ converge
$rArr \int f(x) dx$ converge
EDIT: e questo è il modo in cui si applica il criterio asintotco
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